【基础研究】不确定度与误差

0导读

0.1不确定度与误差的定义与区别？

0.2确定仪表精（准/确）度的是误差还是不确定度？

0.3如何经济科学的确定系统误差？

1不确定度与误差的定义与区别

1.1不确定度

对于非计量、统计、数学专业的朋友理解不确定度难度比较大。我们先从最简单的统计和测量开始，解释一些背景概念。

1）统计学背景知识

（1）离散度

对于任何测量或者评估，很难想象对于同一稳定源或者系统等，不同测量次数或者测量方式得出离散度大的测量会是一个好的测量。

数据或者测量数据的离散度是一个统计学的概念，往往会用以下统计学中的概念来解释。

（2）极差

极差，一组数据中的最大值与最小值的差，Xmax-Xmin。极差是一种非常简单易用的离散度估算方式。但是当精度要求较高时，极差评价法往往难以满足要求。

（3）离均差平方和

一组数据偏离该组数据的平均值的差的平方和，该方法解决了正负偏离的问题，但是该种评价与该组数据的数量/抽样样本容量密切相关。

（4）方差

离均差平方和除以该组数据的数量，即为方差。

当样本容量有限时，为了更有效评估整体离散度，往往会将样本数量减1作为该组数据的数量以计算有效方差。（关于减1，有兴趣的朋友可以再研究研究贝塞尔公式，或者有限样本容量未知样本期望条件下，方差的数学无偏计算方法E(1/n*∑(X-Xm）^2)与E(1/n*∑(X-μ）^2)的关系,或者统计学中的自由度)

（5）标准差

由于方差是数值离散度的平方，所以常用方差开根号的正值来表示标准差，以便更好的评价离散程度。

2）测量学

根据《通用计量术语及定义》JJF1001-2011,有下述相关定义：

（1）测量准确度

被测量的测得值与其真值间的一致程度。

a.由于真值不可得，只能无限逼近，一致程度某种程度可以理解成离散度的另一种说法；

b.真值有时也会被理解成约定量值，或者在精度要求并不是非常高的情况下，在实际应用场景中，往往理解成合格的标准源或者有效高精度测量测出的真值参考值。

（2）测量正确度

无穷多次重复测量所得量值的平均值与一个参考量值间的一致程度。

a.测量正确度与随机测量误差无关，而与系统测量误差有关。当采用修正后的值时，还与估计的对某项系统误差的补偿与该项系统误差的差值相关。

b.在精度要求并不是非常高的情况下，在实际应用场景中，往往会采用有限多次重复测量，当测量次数较低时，将引入修正系数。

c.参考量值在精度要求并不是非常高的情况下或在实际应用场景中，可理解成真值的一种表达方式，也可以理解成测量/校准目的可接受的更高精度的测量标准/系统的测量值或者约定量值。

（3）测量精密度

在规定条件下，对同一或类似被测对象重复测量所得示值或测得值间的一致程度。

a.测量精密度通常用不精密程度以数字形式表示，如在规定测量条件下的标准偏差、方差或变差系数。

b.测量精密度与真值或参考真值无关，因此不能错误理解成测量准确度或者测量正确度。

从逻辑定义上，我们可以近似的认为测量准确度=测量正确度 测量精密度。（仅仅是逻辑定义，而不是数理关系，在后面的误差中也会有类似关系，误差=系统误差 随机误差）

（4）测量不确定度

根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的非负参数。

a.从定义本身较难以理解，从实际应用来看，应理解成测量不准确度。既包含了随机误差导致的测量不精密度，也包含了系统误差导致的测量不正确度。

b.虽然真值理论上不可得，但在各种实际测量、校准、评定等应用场景中，往往接受约定真值或者真值参考值作为真值。从理论上来说科学合理的测量系统的示值一定被约束在真值的一个误差范围内，因此被测量量值分散性的本身，也可能包含了其与真值的某种偏离程度。

1.2误差

根据《通用计量术语及定义》JJF1001-2011,有下述相关定义：

1）测量误差

测得的量值减去参考值。

a.参考值，可理解为真值的一种约定值或者测量目的可接受的真值参考值。

b.测量误差不应包含任何测量错误或者过失所导致的测得值与参考值的差异。

c.测量误差虽然常用来默认单次测量的误差，但实际测量应用中，也常用于代指测量误差限或最大允许或者预测的测量误差，此时其与测量不确定度将起到相似的作用，甚至在大多数常用场景中，可以建立相关的数理关系。

2）系统测量误差

在重复测量中保持恒定不变或按可预见方式变化的测量误差的分量。

a.对于已知的系统测量误差，可以采用修正补偿。当采用修正补偿时，该修正补偿与该系统测量误差的差距当满足系统测量误差的定义时（恒定或可预见）会成为一项新的更小的系统测量误差，当不满足时将成为一项新的随机误差。

b.系统测量误差=测量误差-随机测量误差

c.可预见方式并不包含满足正态分布或者其他各种不可预见具体值的概率分布的随机分布方式。

3）随机测量误差

在重复测量中按不可预见方式变化的测量误差的分量。

a.随机测量误差的参考值是对同一测量量由无穷多次重复测量得到的平均值。

b.一种随机测量误差形成一种分布，该分布可用期望和方差描述，其期望通常可假设为零。

c.随机测量误差=测量误差-系统测量误差

1.3测量误差与测量不确定度关系

1）定义上

测量误差可以理解为测量不确定度在单次测量中的体现。

假设有一袋球，理论质量为100g，根据生产工艺、质量控制及过往的质量偏差，预计标准差为1。则1可视为测量不确定度。某天从袋中随机取出一个球，质量为102g，2即为本次测量误差。隔天又取出一球质量为100.1g，则0.1即为本次测量误差。

测量不确定度亦可以理解成无穷多次测量误差的标准差。

2）应用场景中

当测量误差指测量误差限时，测量误差（限）可以理解成一组无穷多次测量误差的最大值和最小值（或者有限次测量误差最大值和最小值附加相关系数）；而测量不确定度则可以理解成以标准差形式表示的上述无穷多次（有限次）测量误差的分布。

2仪器仪表的精度

2.1定义

根据《工业过程测量和控制用检测仪表和显示仪表精确度等级》GB/T13283-2008,有下述相关定义：

1）精（准）确度

仪表的示值与被测量（约定）真值的一致程度。

2）精（准）确度等级

符合一定的计量要求，使误差保持在规定极限以内的仪表的等别、级别。

（1）常见的级别如0.01，0.02，0.05，0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，4，5

（2）不宜用引用误差或相对误差表示与精确度有关因数的仪表，一般可用英文字母或罗马数字等约定的符号或数字表示精确度等级，如A,B,C...,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ...,或1,2,3...,按英文字母或罗马数字的先后次序表示精确度等级的高低。

3）示值误差

仪表的示值减去被测量的（约定）真值。

4）引用误差

仪表的示值误差除以规定值，并以百分数表示。

（1）规定值常称为引用值，它可以是仪表的输入输出量程、范围上限值、标称长度等。

5）相对误差

仪表的示值误差除以被测量的（约定）真值，并以百分数表示。

（1）有时以仪表的示值误差除以被测量的示值或读数值，并以百分数表示。

2.2电能表

根据《交流电测量设备 通用要求、试验和实验条件 第11部分：测量设备》GB/T 17215.211-2006/IEC 62052-11:2003, 的规定：

1）百分数误差

百分数误差=误差/真值*100

（1）真值可由一个带有规定不确定度的值与其近似，此值能从制造厂和用户商定的标准器或国家标准器溯源得到，在实际场景中，可由校准或者高等级仪器仪表测得值或者其他参考真值或者约定真值表示。 

（2）仪表或测量系统的等级指数则常以约定测试条件下，百分数误差限来表示。

（3）实际应用中，在已知仪器仪表等测量系统的准确度等级时，往往将表征等级的百分数误差限默认为最大引用误差来使用。

2）等级指数

仪表在特殊要求部分所定义的参比条件（包括参比值的允差）下测试时，对0.1Ib~Imax或0.05In~Imax间的所有电流值、在功率因数为1（多相表为平衡负载）时规定的允许百分数误差极限的数值。

2.3温度仪表

根据《智能温度仪表 通用技术条件》GB/T 34050-2017的规定：

1）误差限

智能仪表的基本误差限可用下列形式之一的绝对误差表示。

a）直接以被测量值误差表示（±N）;

b）以与被测量值有关的量程和量化单位表示（±a%xFS d）。

（1）a为与准确度等级相同的数字；

（2）FS为全量程；

（3）d为分辨力。

（4）该种表示方式比引用误差限多了一个表示分辨力的d。

（5）智能仪表的直流电压、电流输出信号、直流电压、电流测量信号基本误差应不超过±（0.2%读数 0.05%FS）,电阻测量在0~400Ω的最大允许误差为±（0.5%读数 0.1%FS）

2）影响量影响要求

3）重复性误差

（1）智能仪表在每一试验点上四次测量值的最大差值即为该试验点的重复性误差，取最大值作为智能温度仪表的重复性误差。计算各点重复性误差时，应考虑恒温设备温度的波动量。

（2）准确度试验点一般取输入量程的0%,20%,40%，60%，80%，100%六个试验点。

（3）智能仪表显示值的重复性误差应符合以下要求：

a）一般情况下，重复性误差应不大于一个分辨力值；

b）a%xFS≥5d时，重复性误差应不大于5d/4。

4）时钟误差

在正常工作条件下，24h的时钟误差应不超过±0.5s。

2.4压力计

根据《数字压力计检定规程》JJG875-2005的规定：

1）数字压力计准确度等级以最大允许误差对应的量程的百分数档次来表征。

2）检定点的选取及检定循环次数

（1）等级0.05级及以上的，选择包括上下限测量范围的十个点，升压、降压（或疏空、增压）检定循环次数为两次。

（2）等级0.1及以下的，选择包括上下限测量范围的五个点，检定循环次数为一次。

2.5其他仪器仪表

1）准确度遵循相关制造及检定要求。

2）未有相关制造及检定标准的，以相近仪器仪表的标准要求为准，或者相关核心元器件具有相关制造及检定标准的，通过核心元器件的不确定度合成该仪器仪表或者计量系统的总体不确定度。

3系统误差/不确定度的评估

3.1仪器仪表的分辨力误差

1）常以最小刻度或者分辨力作为该项误差。

2）在精确评估中，也可以最小刻度或者分辨力的一半作为该项误差。

3）该项误差，一般可认为属于系统误差，也在有的场景中默认为包含在其他随机或者系统误差的一种内，而不进行单独评估。

3.2仪器仪表的随机误差

1）通过多次测量统计分析，通过A类评定方法可以得到该误差可接受的不确定度评估值

2）当实际测量采用单次测量值时，该项不确定度，可通过计算评定或者校准时的多次（一般为10次）重复试验标准差来确定。详见下式

3）当实际测量采用n次测量平均值时，该项不确定度，可通过将单次测量引入的不确定度标准方差除以测量次数n的平方根获得。详见下式

4）当测量误差较大且难以接受时，若随机误差占比较大时，则可通过采用多次测量均值的测量方法，直接提高系统测量的准确度。兼顾测量效率与成本，一般测量场景中，n不超过4次。

3.3仪器仪表的系统误差

1）系统误差较难以测量，尤其是未知的系统误差，在实际校准或者评定中，往往采用误差减去随机误差减去已知系统误差的方法来评估。

2）当测量精度要求较高时，标准源或者高等级测量校准仪器的测得值与（更高级逼近）真值的误差也需要纳入该低等级测量仪器仪表的误差中，往往会通过标准源或者高等级测量校准仪器仪表的不确定度或者测量误差来评估。

3）上述评估中可能会含有部分高等级校准仪器仪表的随机误差，在更高精度要求下，需要减除。否则此部分随机误差将既在低等级系统误差中计算一次，又在随机误差中计算了一次。

3.4合成标准不确定度

1）以样本标准差表示的各项误差引入的不确定度合并计算，当各项不确定度/误差独立不相关时，按照标准差的合成计算方法计算。各项标准差/不确定度的平方和再开根号，即为合成标准差/不确定度。详见下式

2）当存在某些不确定度/误差部分相关时，则需要计算协方差引入的不确定度/误差变化。

3.5扩展不确定度

1）当不确定度评估或者校准测量次数较少时，以有限次数计算的合成标准不确定度准度度较差，根据已知的概率分布，可通过乘以包含因子，来计算某置信/包含概率下的扩展不确定度。

2）如果概率服从标准正态分布，则包含因子k与概率对应关系如下：

k=1，p=68.27%;k=2，p=95.45%;

k=3，p=99.73%。

3）如果概率服从均匀分布（矩形），则包含因子k与概率对应关系如下：

k=根号3,p=1。

4）其他分布，同样可根据数理计算得出。

3.6测量系统或者某个综合测量值总体不确定度

1）由多变量或者多项分量、子量不确定按照3.4合成标准不确定度的方法计算。

2）实际应用默认遵循不同变量标准差的计算与合成方法。

3）常见的不确定度的平方也即方差D,满足下述合成规则：

（1）D(aX)=a^2D(X);

（2）D(X C)=D(X);

（3）D(X±Y)=D(X) D(Y)±Cov(X,Y);

（4）Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-E(X)E(Y);

当X，Y独立不相关时，EXY=EXEY;Cov(X,Y)=0

4小结

1）校准/评估成本

（1）随机误差需要多次测量以评估，其中多次测量涉及到重复性测量条件的维持或者同一被测量的界定和维持；

（2）系统误差既需要多次测量又需要校准器或者标准量或者高精度的测量仪器的多次使用。

2）实际场景中测量成本

（1）多次测量取均值，虽然涉及到时间成本，但其本身是缩减随机测量误差的有效途径。

（2）校准/评估成本在测量应用中的分摊成本。提高测量仪表的利用率也能适度降低测量成本。

（3）设计合适的精度的测量仪表，也能有效降低测量成本。

（4）通过汇总分析平时有效的测量数据，获得测量的随机误差，进而估算与解析测量系统误差，从而进行更优的修正，变相提高测量精度。