线代试题

一、判断题：（共24分）

1 若A，B均为n阶方阵，则必有：

（1） AB＝BA ( )

（2） |AB|＝|BA| ( )

（3） |A+B|＝|A|＋|B| ( )

（4）

( )

（5）

( )

（6） R（AB）＝R（BA） ( )

（7）若 A²＝0，则A＝0 ( )

（8）若A^TA＝0，则A＝0 ( )

2（8分）若A是m×n矩阵，且m≠n，则

（1）当A的列向量组线性无关时，A的行向量组也线性无关 ( )

（2）当R(A)=n时，齐次线性方程组AX＝0只有零解 ( )

（3）当R(A)=n时，非齐次线性方程组AX＝b，有唯一解 ( )

（4）当R(A)=m时，非齐次线性方程组AX＝b，有无穷多解 ( )

3（8分）若A是实对称矩阵，则

（1） A的特征值全为实数 ( )

（2） A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正 ( )

（3）若|A|＞0，则A为正定的 ( )

（4）在二次型f＝X^TAX中，若经实满秩线性变换X＝CY，可将f化为

标准形

则

全为A的特征值( )

二、填空题（19分）

1 （4分）设

且A＋2B＝C，则x=_____, y=______, u=_____, v=_______

2 （6分）若A为四阶方阵，且|A|＝3，A^＊为A的伴随矩阵，则

|－2A|＝＿＿，|A^－1|＝＿＿， |A^＊|＝＿＿

3 （3分）方阵

的特征值为＿＿，＿＿，＿＿

4 （4分）已知四元非线性方程组的系数矩阵A的秩为3，

是它的三个解向量，且

，则对应齐次方程组AX＝0的基础解系是＿＿＿＿，AX＝b的通解是＿＿＿

5 二次型

所对应的矩阵是＿＿

三、（10分）1、计算

2 、已知A =

求

及

四、（10分）设

，且

，求B

五、（15分）验证二次型

的特征值为4，9，0，求一个正交变换，将此二次型化为标准形。（要求写出正交变换矩阵及f的标准形）

六、 (12分)设

，

试问当a，b满足什么条件时，

（1）

可由

线性表示，且表示式唯一；

（2）

不可由

线性表示

（3）

可由

线性表示，但表示式不唯一写出一般表达式

七、（10分）证明题

1 若A，B均为n阶正交矩阵，试证明AB也是正交矩阵。

2 若

和

是齐次线性方程组AX=0的基础解系，

，

,试证明

也是AX=0的基础解系。

一、1、×√×××××√

2、×√×√

3、√√××

二、1、-5，-6，4，-2

2、48，

，27

3、3，0，5

4、

，

5、

三、解：1、

2、记

、

则：

、

故：

，

四、解：由

可得：

五、解：该二次型的矩阵为：

由特征方程

得特征值

当

，解齐次方程

基础解系

单位化：

当

，解齐次方程

基础解系

单位化：

当

，解齐次方程

基础解系

显然，该向量组两两正交，单位化得：

记

，

于是正交变换为：

，且有

六、解：

所以：当

时，

可由

线性表示，且表达式唯一；

当

时，

不可由

线性表示；

当

时，

可由

线性表示，且表达式不唯一。

当

时，由

得通解为：

故：一般表达式为：

七、证明：

1、由于

、

，所以

也是正交矩阵。

2、由于

可由

线性表示，并且

，

也可由

线性表示

向量组

与向量组

等价

也是

的基础解系

一、判断题（每小题2分，共14分）

1．设方阵A满足AA=A，则必有A=O或A=E

2．设A，B是不可逆的同阶方阵，则

3．向量组

是线性相关的向量组

4．齐次线性方程组

若有两个不同的解，它就有无穷多个解

5．方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值不全为零

6．对称矩阵A正定的充分必要条件是

7．若方阵A与B相似，则

与

也相似，其中m为正整数.

二、填空题（每小题2分，共24分）

1．设

，则

；

2．

，且AB=C，则

；又若C=O，则

3．齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是

4．若方阵A满足

，则称A为

；此时

5．若

，B的特征值是1，2，3，则A的特征值是

6．设

与设

相似，则其中

；对称阵A的二次型

；它经过正交变换X=PY化为标准型是

；二次型

（是，不是）正定的

三、设向量组

，对参数k的所有值求出向量组的秩及一个最大无关组（12分）

四、已知

，求矩阵A（10分）

五、 a，b取何值时，方程组

有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14分）

六、设

，

1.求正交阵P,使得

为对角阵;

2.设

,利用A与

相似,求出矩阵

;

3. 求矩阵

的特征值（共16分）

七、证明题（10分）

1．设向量组

线性无关，且

，

证明：

线性相关

2．若A，B均为n阶方矩，且A可逆，证明：BA与AB相似

一、判断题

1．错。例如二阶方阵

，

且

，但

2．正确。因为方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零，那么不可逆的充分必要条件是其行列式等于零，而A，B都是不可逆方阵，故它们的行列式相等且都等于零

3．正确。根据关于向量组相关性的其中一条结论，即任意n+1

个n维向量组都线性相关

4．正确。齐次线性方程组一定有零解，故如果有两个不同解的话，此齐次线性方程组就一定有非零解，又知非零解乘上任意实数都还是该齐次线性方程组的解，从而得出其解无穷的结论

5．错。例如若

，其特征值

不全为零，但它不可逆

6．错。参照线代课本关于对称阵正定的定理结论

7．对。这是因为存在可逆阵

使得

，则

，

（k为正整数）命题正确。

二、填空题

1．

，

；

2．因

，故A可逆，则由AB=C知

即

，故

；

若C=O，则

3．齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是

（即系数矩阵A的秩小于未知量X的分量个数）

4．若方阵A满足

，则称A为正交矩阵，此时

（由

推出

，从而

）

5．A的特征值是1，2，3。（因为相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，由条件知A和B相似，且B的特征值是1，2，3）

6．三阶矩阵A与

相似，它们有相同的特征多项式，设特征值是

，则由根与系数关系知，

，

，所以 a=0

故

的二次型

，它经过正交变换X=PY化为标准型是

；二次型不是正定的

二、解：

1）当

即

时

，

就是最大无关组；

2）当

即

时

，这时

为一个最大无关组

四、解：设

则AB=C。若

可逆，则

法一：先计算

的行列式

，判断是否不等于零，若

，求出

（用公式或用初等变换法，写出必要步骤），再代入

计算出结果。

法二：若

可逆，则

，即对分块矩阵

只进行初等列变换，可以求得A的结果；

五、解：该方程的增广矩阵为：

1）当

，即

，b任意取值时，

，方程组有唯一解；

2）当

时

，即

时，

方程组无解；

3）当

时

，即

时，

方程组有无穷多解

当

时，代入得

，

同解方程组为

，通解为

（其中c为任意常数）

六、解：1）由特征方程

得特征值

当

，解齐次方程

，

通解：

基础解系：

正交化：

，

规范化：

当

，解齐次方程

，

通解

，基础解系

只需单位化，

记

，P即为所求的正交阵，使

，其中

2）由

知

，且当k为正整数时

所以由已知条件知道：

其中

，

从而

故

，其中

由上小题结论可以知道，

与

相似，故

的对角元4，4，19就是

的全部特征值（根据“相似矩阵具有相同的特征多项式”的结论）

七、证明

1．证明：

法一：因

，

故

，

所以

线性相关

法二：因

而

，所以

，从而

所以

线性相关

法三：（基本方法）设

（1）

只要证明有不全为零的数

使（1）式成立即可。

式（1）整理得到：

（2）

由已知条件，向量组

线性无关，推出

（3）

齐次线性方程组（3）的系数矩阵为

易知

，所以（3）有非零解。

即有不全为零的数

使（1）式成立。

所以

线性相关

2．证明：因为A可逆，即

存在，又

，由相似矩阵定义可得：

与

相似。

一、判断题(判断下列各命题是否正确，每小题3分, 共12分)

1、设

为

阶方阵

的伴随矩阵，若

为满秩方阵，则

也是满秩方阵.

2、

阶矩阵

可逆的充要条件是：当

时,

,其中

3、已知向量组

的秩为r(r<m),则该向量组中任意r个向量线性无关.

4、设

、

为

阶方阵，若

、

等价，则

、

相似.

二、填空(将正确答案填在题中横线上，每空4分, 共24分)

1、设

、

为

阶方阵，若

且

, 则

2、设

且

,则

______.

3、设向量组

线性相关，而向量组

线性无关，则向量组

的最大线性无关组是______.

4、设

为5阶方阵，且

，则

；

5、设

、

为

阶可逆方阵，且满足

，则

可用

表示为

6、若方程组

有唯一解,则

7、设四元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵秩为2,已知

为它的四个解向量,且

,则其通解为___.

三、求向量组

的最大线性无关组（10分）.

四、当k取何值时,方程

有无穷多解,并求出此时的一般解（15分）.

五、设

，求正交矩阵P，使

为对角阵，并写出对角阵(15分).

六、写出二次型

在正交变换下所化成的标准形,并指出

是否为正定的(8分).

七、若

都是

阶可逆矩阵,证明:

也是

阶可逆矩阵,且

(7分).

八、设

是

阶方阵,

，且

，求

(6分).

一、判断题

1、

√（

）

2、×（不是充分条件）

3、×（是存在不是任意）

4、×（由定义可证）

二、填空题

1、 0 2、

3、

4、

5、

6、

7、

三、解：

四、解：方程组增广矩阵为

五、解：

向量组刚好两两正交，单位化可得正交阵

且

六、解：

七、证明：

八、证明：

一、填空题（每小题3分，共36分）

1．行列式

的值是

2．设A是5阶方阵，且

，则

3．设A是p

5阶矩阵，B是m

4阶矩阵，AB是7

q阶矩阵，则p，q，m的值分别是

4．设

，则A的伴随矩阵是

5．若向量组

线性相关，则实数t=

6．设A是3阶实对称矩阵，

是属于A的不同特征值的特征向量，则3阶方阵

的秩

，

7．实对称矩阵

正定，则t的取值范围是

8．若n阶方阵A满足

则

9．设A，B，C都是3阶可逆矩阵，

，则

10．设

为n元齐次线性方程组，

，则方程组有

个解向量线性无关

11．向量组

的秩是

12．设

，则它的一个基础解系是

二、计算行列式

（6分）

三、设

，且

，求矩阵X（10分）

四、设向量组

求向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量由该最大无关组线性表示（10分）

五、

取何值时，方程组

有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14分）

六、用正交变换法化二次型为标准形，并写出正交变换（14分）

七、证明题（10分）

1．若向量组

线性无关，证明

也线性无关

2．设A为n阶方阵，若有正整数k，使

，则A称为幂零矩阵，证明幂零矩阵的特征值只能是零

一、填空

1）8 2）

3）7 5 4 4）

5）1 6）2 0 7）

8）A

9）2 10）

11）2 12）

二、解：

三、解：由于

又

，所以

四、解：

所以，

，

为一个最大无关组，且

五、解：该方程组的增广矩阵为：

1）当

时，方程组有唯一解

2）当

时，方程组无解

3）当

时，方程组有无穷多解

当

时，

所以，

六、解：该二次型的矩阵为：

由

得特征值为：

1）当

时，由

，

，得基础解系：

。单位化，得：

2）当

时，由

，

，得基础解系：

单位化，得：

故有正交变换：

，使

七、证明：

1、设存在数

使

整理，得：

又

线性无关

所以

，所以，

所以，

线性无关。

2、设

为A的特征值，

为A的对应于特征值

的特征向量。则：

一．填空题（每空2分,共16分）

1) 设

为

矩阵,

为

矩阵, 且

, 则

2) 设

为3阶方阵且

,则

3) 已知

, 则

4) 设

是方程

的解, 若

也是

的解, 则

5) 三阶矩阵

的三个特征值为1,2,3, 则

的特征值为 .

6) 二次型

是正定还是负定: .

二. 单项选择题（每小题2分,共16分）.

1) 设

是

阶方阵, 则必有( ).

(a)

; (b)

;

(c)

; (d)

2) 设

是

阶方阵, 则

的必要条件是( ).

(a) 两行(列)元素对应成比例;

(b) 必有一行为其余行的线性组合;

(c)

中有一行元素全为零;

(d) 任一行为其余行的线性组合.

3) 设

是

阶方阵,

且

, 则( ).

(a)

或

; (b)

;

(c)

; (d)

4) 设

为

阶可逆矩阵, 则( ).

(a) 若

, 则

;

(b) 对矩阵

施行若干次初等变换, 当

变为

时, 相应地

变为

;

(c)

总可以经过初等变换化为单位矩阵360docimg_501_;

(d) 以上都不对.

5) 设360docimg_502_是一组360docimg_503_维向量, 则下列正确的是( ).

(a) 若360docimg_504_不线性相关, 就一定线性无关;

(b)如果存在360docimg_505_个不全为零的数360docimg_506_使 360docimg_507_,则360docimg_508_线性无关;

线性表示;

(d) 向量组360docimg_512_线性无关的充要条件是360docimg_513_不能由其余360docimg_514_ 个向量线性表示.

6) 矩阵360docimg_515_( )时可能改变其秩.

(a) 转置; (b) 初等变换;

7) 设360docimg_516_为可逆矩阵,360docimg_517_, 则下述结论不正确的是( ).

(a) 360docimg_518_; (b) 360docimg_519_;

8) 若方阵360docimg_522_与360docimg_523_相似, 则有( ).

(a) 360docimg_524_; (b) 360docimg_525_;

(c)对于相同的特征值360docimg_526_,矩阵360docimg_527_与360docimg_528_有相同的特征向量;

(d) 360docimg_529_与360docimg_530_均与同一个对角矩阵相似.

三. (8分) 计算360docimg_531_

四. (12分) 设

360docimg_532_, 360docimg_533_, 360docimg_534_,

求矩阵360docimg_535_使满足360docimg_536_.

五. (12分) 设矩阵360docimg_537_, 求矩阵360docimg_538_的列向量组的一个最大无关组, 并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.

六. (15分). 360docimg_539_取何值时, 非齐次方程组

360docimg_540_

(1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多个解, 并求解.

七.(15分)求一个正交变换360docimg_541_,将二次型360docimg_542_化为标准形(要求：写出正交变换和标准形).

八.(6分) 设360docimg_543_为360docimg_544_阶可逆矩阵, 360docimg_545_是360docimg_546_的一个特征值, 证明360docimg_547_的伴随矩阵360docimg_548_的特征值之一是360docimg_549_.

一、填空题

1、-8 2、4，4 3、360docimg_550_

4、1 5、6，360docimg_551_ 6、正定

二、单项选择题 CBACACCB

三、解：360docimg_552_

四、解：360docimg_553_

360docimg_554_

五、解：设360docimg_555_，则

360docimg_556_

最大无关组为360docimg_557_

360docimg_558_，360docimg_559_

六、解：360docimg_560_

（1）当360docimg_561_且360docimg_562_时有唯一解

（2）当360docimg_563_时无解

（3）当360docimg_564_和360docimg_565_时有无穷多解

360docimg_566_ 时，通解为360docimg_567_；

360docimg_568_ 时，通解为360docimg_569_，360docimg_570_

（通解表达形式不唯一）

七、解：二次型f的矩阵为360docimg_571_

360docimg_572_

360docimg_573_

360docimg_574_

360docimg_575_，（P形式不唯一）

且标准形为：360docimg_576_

七、证明：设360docimg_577_为360docimg_578_的对应于360docimg_579_的特征向量，则360docimg_580_。

由于360docimg_581_可逆，所以360docimg_582_

360docimg_583_ 即360docimg_584_为360docimg_585_的一个特征值。

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