当然这个结论还是比较简单的，但是它的逆命题（已知三角形DEF为等边求证三角形ABC为等边）也是成立的，这就不简单了，需要用到分类思想和反证法。有兴趣的读者可以试一试。
而且可以引申出，当动点走出直线的时候，依然有定值的结论。只不过变成了差为定值。 证明的核心就是全等，注意这个全等不是共公顶点为旋转中心的旋转型全等。注意倒边倒角。
如图任意的三角形，在外边做三个等边，连线后，有等线段。
模型 | 从费马点问题谈利用旋转构造全等或相似的妙处
等边内部的点到三边距离和为定值，就是高。利用面积法可得。
注意到，点在外部还分为两种情况，如图
可以看做5的特殊位置，由5的结论和中位线的性质易证。
如图将腰倍长，则可以得到腰上中线与倍长后的端点与底角顶点连线的二倍关系。证明的时候利用了等要的对称，这也是等腰的基本特性。
证明还是利用对称性，还利用了四点共圆，圆周角相等。
如图等腰三角形的底边所在直线上有一个动点，该点在线段上的时候，向两边做垂线段，和为定值，这个定值就是腰上的高线。
动点在直线上的时候，垂线段的差为定值，证明方法基本是一样的，也可以用面积法。
上次的三角形新模型中也有一个角平分线和中线的交点，结论是该交点和三角形三顶点四点共圆。
以RT三角形个边为边做正方形，会有怎么样的结论呢？看下图：判定菱形利用四边相等，面积的证明用到经典的平行等面积。上次好像也有截取等腰，这次要注意截取的方式，其实就是在斜边截取直角边长度。
这个全等差一个边的条件，这组边相等证明很有意思啊！圆周角
刚才是内接正方形，现在是内切圆，而且是三个分别的内切圆。 这次画的是一般三角形中的重要线段（中、高、角分、中位、线）相关的几个模型（或者说结论），名字都是我瞎起的，有更好的名字可以换掉。截等腰意思就是在一个一般三角形中截出一个等腰三角形，如下图是过其中一个顶点截出等腰三角形。如图，也可以不过顶点截出等腰三角形，有类似的结论。 顾名思义就是有垂足有中点联系起来产生反应：这里有两个图证明方法没写，就是利用直角三角形斜边中线等于斜边一半来做的。第二个图：其实就是中点中点连线（中位线）和垂足中点连线（不知道叫什么：垂中线？）的夹角，等于两不相邻内角的差（刚才高分角的二倍啊）。这个特点就是做了两条垂线，曾经有个双垂直模型。有个三垂直模型，这个就叫一线二垂直模型吧？注意过点A的直线可以是任意（很像三垂直也是往同一条直线做垂直）的比如下面这种情况：这里的内心可不是我的内心，而是三角形的内切圆圆心，也就是角平分线的交点如下图：都知道，角平分线加平行线，等腰必出现。下图就是double一下。任意三角形中角平分线和所对边中垂线交点D一定和三角形三个顶点共圆？是吗？看下面。
飞镖型也是非常基础的模型，如果做他几个角的角平分线会怎么样呢？证明要从两个方面第一：三中线交于一点；第二：三等分（也可用面积法）
如下图证明，利用了中位线的性质和判定，平行四边形的性质，当然如果只是想证明三等分，用面积法也是不错的。
来源：几何数学（ID：jiheshuxue），作者：司凯
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