高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（20）

新媒体管家

小数老师说：

一周的时间过得好快，这周又开始更新文数啦~文科生看过来

小数老师整理了上周评论区同学们的数据，决定这周开始更新全国卷的数学模拟题，加油

（2017 · 全国I卷模拟文数 · 20）

已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率，直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离

（I）求椭圆C的方程；

（II）过点坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求出定值．

先自己思考

本题考点

直线与椭圆的位置关系．

题目分析

（Ⅰ）由椭圆的离心率，直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离，列出方程组，能求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）当k存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆

联立，得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）﹣12=0，由此利用韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式求出O到直线AB的距离为定值

．当k不存在时，同理得O到直线AB的距离为

．由此能证明点O到直线AB的距离为定值

题目解析

解：（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率，

直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离，

∴直线l的方程为=1，右焦点F（c，0），且c²=a²﹣b²，

∴

，解得a=2，b=

，c=1，

∴椭圆C的方程为

=1．

证明：（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

①当k存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，

与椭圆

联立，消去y，得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）﹣12=0，

，

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁+m）（kx₂+m）=（k²+1）

=0，

∴（k²+1）·

﹣

+m²=0，

整理，得7m²=12（k²+1），符合△＞0，

∴O到直线AB的距离d=

=

=

，

∴O到直线AB的距离为定值

．

②当k不存在时，同理得O到直线AB的距离为

．

综上，点O到直线AB的距离为定值

．

本题点评

本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离为定值的证明，考查椭圆、韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．