本周更新理数,下周更新文数
今天小数老师带来的是全国理数的模拟题,今天是一道函数问题,这是很多同学的难点,大家要加油~
(2017 · 全国I卷模拟理数 · 19)
19、如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,H是CF的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角H﹣BD﹣C的大小.
本题考点
直线与平面所成的角,与二面角有关的立体几何综合题,用空间向量求平面间的夹角
题目分析
(I)由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直;(Ⅱ)以O为原点,OB,OC,ON所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,求出平面BDEF的法向量,即可求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值;(Ⅲ)求出平面BDH、平面BCD的法向量,利用向量的夹角公式,即可求二面角H﹣BD﹣C的大小.
题目解析
解:(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD.
又∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,
且AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)解:设AC∩BD=O,取EF的中点N,连接ON,
∵四边形BDEF是矩形,O,N分别为BD,EF的中点,
∴ON∥ED,
∵ED⊥平面ABCD,
∴ON⊥平面ABCD,
由AC⊥BD,得OB,OC,ON两两垂直.
∴以O为原点,OB,OC,ON所在直线分别为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标系.
∵底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,BF=3,
∴A(0,﹣,0),B(1,0,0),D(﹣1,0,0),E(﹣1,0,3),F(1,0,3),C(0,,0),H(,
∵AC⊥平面BDEF,
∴平面BDEF的法向量
设直线DH与平面BDEF所成角为α,
∵
∴sinα=|cos<
,>|=||=,∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为
;(Ⅲ)解:由(Ⅱ),得
=(﹣,,),=(2,0,0).设平面BDH的法向量为
=(x,y,z),则令z=1,得
=(0,﹣,1)由ED⊥平面ABCD,得平面BCD的法向量为
=(0,0,﹣3),则cos<
,>==﹣,由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角,
∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°.
本题点评
本题考查立体几何的证明和二面角问题,是高考中的难点,立体几何也是高中学习比较困难的地方,大家平时要注意练习
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