小数老师说：
高中数学概率问题是高考中比较重要的一个模块，但是很多人掌握的并不好，小数老师今天整理了概率所有题型和易错点知识，什么都不说了，赶紧收藏吧！
[警示·易错提醒]
1．随机事件的概率易失误点．
(1)对问题分类不清，导致对事件分类不清出现错误，而处理正面较复杂的问题时，又不能用互斥事件求其对立面来简化求解过程．
(2)解与等可能事件相关题目时，要注意对等可能事件的基本事件构成的理解，往往计算基本事件或多或少或所划分的事件根本不等可能，从而导致失误．
2．几何概型中的易失误点．
(1)解题时要正确区分是古典概型还是几何概型．
(2)解题时要明确几何概型中构成事件A的区域是长度、面积，还是体积．
专题一 互斥事件、对立事件的概率
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者中必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况．
应用互斥事件的概率的加法公式解题时．一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．
[例1] 甲、乙两人参加知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种，“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
专题三 几何概型
几何概型有两大特征：基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性．求解此类问题时，常把概率问题等价转化为相应问题的测度比问题．常见的测度比有长度之比、面积之比、体积之比等，正确区分几何概型与古典概型是本章学习的一个难点．
[例3] 已知区域E＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2}，F＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________．
解析：依题意可知，本问题属于几何概型，区域E和区域F的对应图形如图所示．
其中区域E的面积为3×2＝6，区域F的面积为21×(1＋3)×2＝4，所以向区域E内随机投掷一点，该点落入区域F内的概率为P＝64＝32.
答案：3(2)
归纳升华
对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的概率求解方法，主要有下面两种类型：
(1)线型几何概型：基本事件受一个连续的变量控制．(2)面积几何概型：基本事件受两个连续的变量控制．一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
[变式训练] 在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得不等式|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．
解析：(1)当－3≤x≤－1时，|x＋1|－|x－2|＝－3，此时|x＋1|－|x－2|≥1不成立．
(2)当－1xx＋1|－|x－2|＝2x－1≥1，得x≥1，所以1≤x
(3)当2≤x≤3时，|x＋1|－|x－2|＝3≥1恒成立．
综上所述，当1≤x≤3时，|x＋1|－|x－2|≥1成立．
由几何概型知，使|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为6(2)＝3(1).
答案：3(1)
专题四 概率与统计的综合问题
统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
[例4] 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评
分分组
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
8
14
10
6
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级，如下表所示．
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大，并说明理由．
解：(1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大
归纳升华
本题通过画频率分布直方图考查对数据的处理能力和数形结合的思想方法，通过求概率考查运算求解能力和实际应用意识．
[变式训练] 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．
(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
解：(1)由茎叶图可知：甲班同学身高集中于160～179 cm，而乙班同学身高集中于170～179 cm.因此乙班平均身高高于甲班．
甲班的样本方差s2＝10(1)[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.
(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173 cm的同学有：(181，173)，(181，176)，(181，178)，(181，179)，(179，173)，(179，176)，(179，178)，(178，173)，(178，176)，(176，173)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181，176)，(179，176)，(178，176)，(176，173)，
所以P(A)＝10(4)＝5(2).
专题五 转化与化归思想
本章中多次用到了转化与化归思想，比如在求解概率时，有时要转化为求互斥事件的和事件，有时要转化为求对立事件，有时还要将代数问题转化为几何问题等．
[例5] 在|p|≤3，|q|≤3的前提下，随机取数对(p，q)，试求方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根的概率．
解：根据一元二次方程有实数根找出p，q需满足的条件，从而确定区域测度．|p|≤3，|q|≤3对应的区域是边长为6的正方形，如图所示，S正方形＝62＝36.
方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根⇔Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，即p2＋q2≥1，所以当点(p，q)落在如图所示的阴影区域时，方程有两个实数根．
由图可知，阴影部分面积d＝S正方形－S圆＝36－π，所以原方程有两个实数根的概率P＝36(36－π).
归纳升华
这里把一个方程根的问题转化为平面区域上的图形面积问题，从而使问题得到了解决，这里的转化起到了“化抽象为具体”的作用．
[变式训练] 一个箱子内有9张票，其号码分别为1，2，…，8，9.从中任取2张，其号码至少有一个为奇数的概率是多少？
解：法一：9张票中有5张票号码是奇数，4张票号码是偶数．从9张票中任取2张，包含的基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)，共36个．“至少有一个为奇数”包含：(1)一奇一偶，共有20个基本事件；(2)两张全为奇数，共有10个基本事件．这两个事件互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得所求概率P＝36(20)＋36(10)＝36(30)＝6(5).
法二：事件“号码至少有一个为奇数”的对立事件是“号码全部是偶数”，“号码全部是偶数”包含的基本事件数为6，即“号码全部是偶数”的概率P1＝36(6)＝6(1)，故事件“号码至少有一个为奇数”的概率P＝1－P1＝1－6(1)＝6(5).
