高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（45）

 本周更新理数，下周更新文数

小数老师说：

今天带来一道函数综合应用问题，下周开始更新文数！

19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a^x﹣1，g（x）=﹣x²+xlna．

（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；

（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；

（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e

时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．

先自己思考

本题考点

利用导数求闭区间上函数的最值

题目分析

（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．

（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．

（3）求出函数F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解．

题目解析

解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a^x﹣1+x²﹣xlna，

则h′（x）=（a^x﹣1）lna+2x，

∵a＞1，∴当x＞0时，a^x﹣1＞0，lna＞0，

∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．

（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，

则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，

同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，

则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，

即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，

当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，

本题点评

本题考查函数及其导数的综合应用，高考热点，大家做题时注意构造函数，本题属于中档题