圆锥曲线中的“角”条件，原来可以这样转化！

 

小数老师说

昨天小数老师做了一个投票，很多家长和同学都去做了，小数老师先谢谢大家！针对以后微信平台的安排，小数老师大体也有了一个方向，谢谢大家的建议！

另外，有个家长建议尽快开通评论功能，这不是小数老师能决定的哈，现在小数老师一直往原创的路上走，为了尽快开通，也请大家多多转发小数老师的文章啊！再次感谢！

（2015新课标1卷理）

在直角坐标系XOY中，曲线C:

与直线l:

交于M,N两点。

（1）       当k=0时，分别求C在点M和点N处的切线方程；

（2）       y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有

？（说明理由）

分析

本题是一道圆锥曲线的问题，考察了抛物线与直线的位置关系，但是第一问比较特殊，直接与导数相联系，考察导数的几何意义；第二问回归传统题目，考察的是开放性问题，是否存在点，使得角相等。

浏览题目之后，发现难度不是特别大，但是要注意两点：

1、题目给的抛物线方程不是标准方程，这对于我们联系导数比较方便，但是若考察到焦点或准线等时，同学们容易出错；

2、开口向上（下）的抛物线方程可以变形成为函数，若抛物线方程开口向右（左）时，还让求切线方程该怎么办呢？请同学们自己思考哈！

解析

（1）       分析中已经说过，这一问比较简单，找到点，求出函数（抛物线方程）在点处的导数，利用点斜式写出切线方程即可，具体过程看下面。

把y=a代入抛物线方程

，得到

，

不妨设M

、N

由曲线方程：

，得到

，

所以曲线C在点M处的切线斜率是

，其切线方程是

，化为

；

同理可得曲线C在点N处的切线是

。

（2）       之前提过遇到圆锥曲线的问题，要先画个草图，然后根据题目条件先翻译，再利用套路写出韦达定理，最后再研究已知与未知之间的桥梁（当然，这是应试教育的方法）

首先假设y轴上存在点P（0，b），使得条件成立，然后进入套路，

曲线C与直线相交，设点M

、N

，

联立方程可得：

化为

接下来就要进行条件转化了，题目问是否存在点P，使得当k变动时，总有

？

对于两角相等的转化，一般有几种方法，

1，观察两角是否在一个三角形中，若在一个三角形中，则所在的三角形就是等腰三角形，可以利用三线合一解决；

2，如果两角分别在两个三角形中，则可以利用余弦定理（若是直角三角形，还可以直角找正切），但是这种方法比较少使用，因为余弦定理需要知道三角形的三边，计算量太大，还可以转化利用平面向量找两向量的夹角，这个方法比较常用，因为容易与点M,N联系起来，就可以与韦达定理联系起来；

3，如果两个角有公共边，并且公共边又恰好是坐标轴，那么此时可以转化为直线的斜率。

我们回到这道题目，

继续看图，要角1与角2相等，可以由角3与角4相等得到，角3是直线PN倾斜角的补角，角4与直线PM倾斜角相等，即直线PN的倾斜角与直线PM的倾斜角互补，所以可以转化为直线PN的斜率与直线PM的斜率互为相反数。（这里的转化没看明白的同学需要了解一下直线斜率与直线倾斜角的关系）

所以接下来设直线PN的斜率是

，直线PM的斜率是

，

所以当b=-a时，

，直线PN的倾斜角与直线PM的倾斜角互补，

所以

所以点P(0，-a)满足条件。