中考数学压轴题分析：图形位似产生的重叠面积

本文内容选自2021年海南中考数学几何压轴题。本题以正方形为背景，考查全等与相似的有关知识，图形非常典型，但难度不大。可以进行适当的拓展变式。

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【中考真题】

（2021·海南）如图1，在正方形中，点是边上一点，且点不与点、重合，点是的延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接，．
①求证：；
②若，求的长．

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【分析】

（1）根据已知条件，用SAS进行证明全等即可。

（2）①证明线段相等考虑的常常是全等或者等腰。但是本题比较特殊，可以发现线段HD与HB有公共的顶点H，而他们分别是两个三角形的中线，也就是Rt△DEF与Rt△BEF的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得到它们都是EF的一半，那么结论就出来了。

还可以发现它们其实是四点共圆。比较特殊的一个图形。

②已知线段的乘积，考虑用相似有关的知识。通过观察发现DK所在的三角形DKF与HC所在的三角形HCE两个的形状相似，可以考虑通过证明这两个三角形相似进行转化。发现相似之后即可得到结论。难度不大。

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【答案】解：（1）四边形为正方形，
，，
，
；

（2）①，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
点是的中点，
，
同理，由是的中线得：，
；
②四边形为正方形，
故，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在等腰直角三角形中，，
，
．