有限元方法历史简介

取自Wikipedia的免费百科全书

数学有限元方法（FEM）是用来求偏微分方程式（PDE）的近似解，也求积分方程式，例如热传输方程式。求解方法是基于完全取消微分方程式（稳态问题），或把偏微分方程式（PDE）译成等效的常微分方程式，然后采用像有限差等标准的技术求解。

在解偏微分方程式时，主要的挑战是创建近似研究的方程式，但数字稳定，这意味着在输入数据和中间计算都不会聚集错误，并造成无意义的输出结果。有许多这么做的方法，它们都有各自的优缺点。对于求解复杂域（像汽车和油管道）偏微分方程式，或当希望在全部范围精确变化时，有限元方法是好的选择。例如，在模拟地球气候模式时，在土地和完全开放的海域之上有着准确的预测是非常重要的，采用有限元方法，这个要求是可以做得到的。

1  历史

有限元方法起源于需要解决市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析问题。它的开发可以追溯到A.Hrennikoff（1941）和R.Courant（1942）的工作。虽然这些先驱者使用这些方法，并且引人注目的不同，但他们都共享一个基本的特性：把连续域的网格离散化进入一组离散的子域里。Hrennikoff的工作是采用格子使域离散，而与之类似，为了求解起源于汽缸扭转的问题的二阶椭圆的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的方法是把域划分成有限的三角形子域。对于由Rayleigh，Ritz和Galerkin开发的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的贡献是改进，绘制了大量的早期结果。针对机身和结构分析的有限元方法的开发最早开始于1950年代中期，并且用于市政工程的有限元方法许多是1960年代在伯克利开始启动（见伯克利早期有限元研究）。在1973年Strang和Fix出版的《有限元方法的分析》里，提供的方法采用了严格的数学基础，并且已经在广泛变化的工程学科，即电磁和流体力学里，针对物理系统的数字建模，归纳成为应用数学的分枝。

在结构力学里，有限元方法的开发常常是基于能量理论，即虚功原理或最小总潜能原理，对于结构工程师来说，早就强烈要求提供综合的，直觉的和物理的依据。

2  技术讨论

我们将从可以推断的普通方法里取二个简单问题来举例说明有限元方法。我们假设读者是熟悉微积分学和线性代数。我们将采用一维空间

 

式中f是假设的，而u是x的未知函数，并且u〞是与x有关的u的二阶导数。二维空间取样问题是狄利克雷问题

式中Ω是在（x，y）平面内连接开区域，那些边界是“和谐的”（即平滑流形或多边形），并且u_xx和u_yy，分别表示与x和y有关的二阶导数。

通过计算不定积分，可以“直接”求解问题P1。然而，只有当只有一个维度空间时，才使用这个方法求解边界值问题，并且不推广到更高空间的问题，或像u+u”=f问题。出于这个原因，我们将针对P1开发有限元方法，并且略微叙述它对P2的广义性。

我们的解释将发生在二个步骤里，反映出二个本质的步骤，第一步必须采用有限元方法（FEM）求助于求解边界值问题（BVP）。在第一步，在它的弱或变分形式上重新描述初始的边界值问题（BVP）。通常这一步几乎不需要作计算，只是在纸上手工进行转换。第二步是离散化，在有限的维度空间里，把弱形式离散化。在这个第二步之后，对于大的，但是有限空间的线性问题，我们有具体的公式，那些解将近似解答初始的边界值问题（BVP）。然后就在计算机里执行这个有限的空间问题。

3   变分公式化

第一步是把P1和P2转换为它们的变分公式。如果u求解P1，那么对于任何平滑函数v，我们有

反过来，如果对于假设的u，⑴控制每个平滑函数v(t)，那么一步就可以显示这个u将求解P1。（证据是非平凡的，并且采用Sobolev空间）

通过在⑴的右边采用部分积分法，我们获得

式中我们已经做了另外的假设v(0)=v(1)=0。

4.1     存在的证据概要和解的唯一性

我们可以定义是有界变分的(0，1)的函数，在x=0和x=1是0。这样的函数是“一次可微分的”，并且它产生出相对称的双线性图Φ，然后把定义的内积转换成为Hibert空间（详细的证据是非平凡的）。在另一方面，左侧 也是内积，这次在Lp空间L²(0，1)。针对Hibert空间的Riesz表示法则显示有一个唯一的u解⑵和因此的P1。

4.2     P2的变分形式

如果我们采用Green的理论做部分积分，我们看到如果u求解出P2，那么对于任何v：

式中表示梯度，并且·表示二维平面里的点积。一旦在Ω的“一次可微分的”函数的匹配空间

 里，能够把更多的Φ转换成为点积，那么 就是0。我们也已经假设 。空间

可能不再按照有界变分来定义，而是看Sobolev空间。也可以显示解的存在和唯一性。

4 离散化

在里端点（蓝色）带有0值

的函数和分段线性近似法（红色，

参见直接强度图说里的彩图）。

在二维里的分段线性函数

基本函数v_k（蓝色，参见直接强度图说

里的彩图）和它们的分段线性线性组合。

基本思想是替代有限空间的线性问题

采用有限空间的版本：

(3)

式中V是的有限空间子空间。V有许多可能的选择（一种可能导致spectral方法）。然而，对于有限元方法，我们取V为分段线性函数的空间。

对于问题P1，我们取间隔（0，1），选择nx值0＜x₁＜…＜x_n＜1，并且我们定义V为

式中我们定义x₀=0，和x_n+1=1。依照微积分学的初步定义，观察V里的函数是不可微的。确实，如果 ，那么在任何x=x_k，k=1，…，n处，通常是不定义导数的。然而，在x的每个其它数值里存在着导数，以及为了部分积分法的目的，同样可以使用这个导数。

对于问题P2，我们需要V是Ω的一组函数。在右边的算式里，我们已经在平面里（三维图的下面）把15边多边形区域Ω划分成三角形，并且这个多变形的分段线性函数（上面带颜色的三维图）在三角系的每个三角形都是线性的；在选定的三角系的每个三角形上，空间V由线性函数组成。

在文献里，经常用V代替V_h。原因是希望把下面的三角形格栅变得好上加好，离散问题（3）的解将在某种意义上聚集到初始边界值问题P2的解。那么就由取值很小的，h＞0的真实数值参数分成三角系。这个参数将涉及到最大，或三角系里的平均三角形的空间。正如我们定义的三角系，分段线性函数的空间V也必须改为h，因此没有符号V_h。由于我们没有执行这样的分析，我们将不使用这个符号。

4.1 选择基础

完成离散化，我们必须选择V的基础。在一维空间情况里，对于每个控制点x_k，我们将选择分段线性函数v_k，在x_k，V里那些数值是1，在每个，V里那些数值是O，即

对于k=1，…，n。对于二维情况，我们按照平坦区域Ω的三角系的最高点的x_k，再次选择一个基本函数v_k。函数v_k是V的唯一函数，在x_k，那些数值是1，并且在每个，那些数值是0。

根据作者的意思，在“有限元方法”里的“元”字，既涉及到领域里的三角形，也涉及到分段线性基本函数，或二者都涉及。作为例子，作者的兴趣在于采取舍弯取直，可以把曲线域改为三角形，在哪个情况里，他可以把他的元作为曲线描述。在另一方面，一些作者用“分段二次方程式”，或者甚至“分段多项式”来取代“分段线性”。那时作者可能说，“高次元”代替“更高程度的多项式”。有限元方法是不受三角形限制的（或在三维空间里的四面体，或者在多维空间里的更加高次的单形体），但是可以在四边形子域上定义（在三维空间里的六面体、棱柱、或者棱椎，如此等等）。可以采用多项式，以及甚至非多项式形状（即椭圆或圆）来定义更高次形状（曲线要素）。

常常把采用更高程度分段多项式基本函数的方法称为光谱元方法，尤其如果多项式的次数增加，当三角系空间h趋于0。

更加高级的执行（适用有限元方法）利用方法，（基于错误估计理论）评估结果的质量，并且在求解期间，根据连续问题的“精确”解，在某些限度之内，瞄准达到近似解来修改网孔。可以利用各种技术来适应网孔，最流行的是：

• 移动节点（r-自适应性）

• 精炼（和非精炼）元（h-自适应性）

• 改变基本函数的次序（p-自适应性）

• 上述组合（即hp-自适应性）

4.2 基础的小支撑

这个基础的选择的主要优点是内积

并且

几乎所有的j，k都将是0。在一维情况里，v_k的支撑是间隔[x_k−1，x_k+1]。因此，只要|j−k|＞1，和φ(v_j，v_k)的被积函数同样是0。

同样，在平面情况里，如果x_j和x_k，不共享三角系的边缘，那么积分

和

二个都为0

4.3 问题的矩阵形式

和 ，那么问题（3）变成。

(4)    对于j=1，…，n。

如果我们用u和f表示列向量(u₁，…，u_n)^t，和(f₁，…，f_n)^t，并且如果让L=(L_ij)和M=(M_ij)是那些输入为L_ij=φ(v_i，v_j)和 的矩阵，那么我们就可以改写（4）为。

(5)
.

正如我们之前已经讨论的，因为基础函数v_k有小支撑，所以大多数L和M的输入都是0。所以我们必须在未知u里求解线性系统，哪儿大多数矩阵L的输入都需要我们改为0。

这样的矩阵就是著名的稀疏矩阵，并且针对这样的问题，有不同的解（比实际转化矩阵更加非常有效）。另外，L是相对称的，所以共轭梯度方法这样的技术就有用武之地了。对于不太大的问题，稀少的承载单元分解和Cholesky分解仍然工作良好。例如，对于带有成百上千顶点的网格，Matlab的反斜杠算子（基于稀少的承载单元）就足够了。

矩阵L通常是涉及到劲度矩阵，而矩阵M称为质量矩阵。

5          比较有限差方法

对于求解偏微分方程（PDEs），是可以选择有限差方法（FDM）的。在有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）之间的差异是：

n 有限差分法（FDM）是近似于微分方程式；有限元法是近似于它的解。

n 有限元法（FEM）最吸引人的特色是它能够相当容易的处理复杂的几何参数（和边界条件）。而在它的基本格式里的有限差分法（FDM）处理矩形形状是受限制的，并且简单的把它改造一下，在有限元法（FEM）里，几何参数的处理是理论上简单明了的。

n 有限差分法（FDM）最吸引人的特色是它能够很容易的执行。

n 有几种方法，一种可以把有限差方法（FDM）考虑为有限元法（FEM）的子集。一种可以选择基本函数作为分段持续函数或迪拉克三角函数。在二种方法里，在整个域定义近似值，但是必须不是连续的。作为选择，一种可以在离散域定义函数，结果连续的微分算子不再有意义，然而，这个方法不是有限元法（FEM）。

n 有理由认为有限元近似值的数学基础是更加合理的，例如，在有限差方法（FDM）里，因为在格子点之间的近似值的质量是差的。

n 有限元法（FEM）近似值的质量常常是比相应的有限差方法（FDM）高的，但是，这个是极端的问题，并且可以提供相反的个别例子。

通常，有限元法（FEM）是在结构力学所有类型的分析里选择的方法（即在固体或结构动力学里求解变形和应力），而计算流体动力学（CFD）趋向于使用有限差方法（FDM）或其它的方法（即有限体积方法）。计算流体动力学（CFD）问题通常需要把离散化的问题分成大量的单元/格栅点（数百万和更多），因此，求解的成本偏于简单，在每个单元之内近似。对于“外部流”问题，比如像围绕着汽车或飞机的空气流，或在大范围内的气候模拟，这个是尤其正确。

现在有大量的有限元软件包，有些免费，有些要付费。