作者：练文杰 佛山市顺德区莘村中学
责编：曾 菲
审核：罗倩仪
终审: 王常斌
作者简介
课时教学设计
《全概率公式与递推数列》
教学设计
北滘镇莘村中学 练文杰
（一）课时教学内容
全概率公式与递推数列
（二）课时教学目标
（1）复习巩固全概率公式
（2）利用全概率公式写出数列的递推式
（3）在利用全概率公式写数列的递推式中领会转化与化归的数学思想
（三）教学重点与难点
（1）教学重点：全概率公式，根据全概率公式推出数列的递推式
（2）教学难点：根据全概率公式推出数列的递推式
（四）教学学情分析
“全概率公式”是普通高中教科书人民教育出版社2019年A版选择性必修第三册第七章第一节第二课时的内容，本节课教学目标生为高三学生，已经历一轮复习与二轮复习，对“全概率公式”已有一定的掌握。同时本节课利用到全概率公式转化为数列的递推式，在转化为数列递推式后，学生已有使用“构造法”解出数列通项公式的能力，所以“解数列通项公式”在本节课中放于次要地位，教学重心侧重在利用全概率公式写出数列的递推式，并在此过程中体会转化与化归的数学思想。
（五）教学过程设计
环节一 预习案——回归教材
阅读新教材选修三第49页到第50页，回答下列问题
问题1：从有3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回。问第一次摸到红球的概率为_____，第2次摸到红球的概率是_____。
问题2：某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天午餐随机地选择一家餐厅用餐。如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。
【师生活动】 学生通过预习回顾，回顾全概率公式的知识并利用全概率公式解决具体题目。
【设计意图】 回归教材，复习巩固好全概率公式，并注意好全概率公式中事件的书写规范。
在问题2的条件下，同学们在小组内进行讨论：
追问1：第3天去A餐厅用餐的概率是多少？第4天呢？
追问2：第10天去A餐厅用餐的概率是多少？第10天的概率也是从第1天到第2天，从第2天到第3天，以此类推，一步一步慢慢推算的吗？有没有更好的办法？
追问3：第n天去A餐厅用餐的概率与第(n+1)天去A餐厅用餐的概率有什么关系？
【师生活动】 学生进行小组讨论，在运用好全概率公式的基础上，从第2天去A餐厅用餐的概率推导出第3天去A餐厅用餐的概率；以此类推，写出第4天的概率。并引导学生思考，一步一步地推算，到第10天，计算量大，速度慢；学生自发思考有没有更好的办法？并尝试写出第n天去A餐厅用餐的概率与第(n+1)天去A餐厅用餐的概率关系。
【设计意图】 复习并巩固好全概率公式的推导，引导学生从具体的数字出发，先从具体的第二天概率推出第三天，以此类推，从易到难，举一反三，引导学生从具体的数字出发，推导出抽象的第n天去A餐厅用餐的概率与第(n+1)天去A餐厅用餐的概率关系。
追问4：列出上述关系式后，你想到用什么知识点去运算第n天去A餐厅用餐的概率？
【师生活动】 学生思考并把第n天去A餐厅用餐的概率与第(n+1)天去A餐厅用餐的概率关系转化为数列递推式。
【设计意图】 把概率关系，转化为数列递推式，在此过程中体会转化与化归的数学思想。
环节二 练习案——考题再现
（2023届广州市荔湾区高三上统考第7题）
某学校有A,B两家餐厅，小明选择餐厅吃饭的规则如下：若前一天去A餐厅吃饭，则第二天去A餐厅吃饭的概率为0.4；若前一天去B餐厅吃饭，则第二天去A餐厅吃饭的概率为0.9；已知小明第一天去了A餐厅吃饭，则第七天去A餐厅吃饭的概率为（ ）
【师生活动】 学生进行练习，在考题1的基础上，根据全概率公式自主思考写出递推式，并解出通项公式；
【设计意图】 当堂训练，熟练解题步骤，掌握方法。在此过程中体会立足新教材的背景，深入探究新情境的设问，举一反三。
（2023届佛山市高三二模第16题）
有n个编号分别为1,2，...n的盒子，第1个盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均为1个白球和1个黑球。现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子中，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推。则从第2个盒子中取到白球的概率是____；从第n个盒子中取到白球的概率是____.
【师生活动】 学生进行练习，根据全概率公式写出第一空；原题第二空思维跳跃大，教师适当引导学生先写出从第n个盒子中取到白球的概率与第(n+1)个盒子中取到白球的概率的关系式，再由学生自主思考写出递推式，并解出通项公式；
【设计意图】 从具体的第1个盒子概率推出第2个盒子概率，以此类推，引导学生从具体的数字出发，推导出抽象的第n个盒子中取到白球的概率与第(n+1)个盒子中取到白球的概率的关系式，转化为数列递推式；并采用构造法求数列的通项公式，复习巩固构造法。
总结归纳：上述题目，除了应用全概率公式，还用到哪些知识点？解决的思路或方法是什么？在此过程中体现了什么样的数学思想？
【师生活动】 学生进行分组讨论，并上台展示，教师进行适当引导
【设计意图】 引导学生除了掌握全概率公式，还需要用到数列的构造法，解题的关键是应用全概率公式写出数列的递推公式，并用构造法求数列的通项公式。在此过程中体现的是转化与化归的数学思想。
环节三 提升案——思维拓展
小明与电脑AI下棋，每把棋局只有“赢棋”、“和棋”、“输棋”三种可能，每把棋局中“和棋”、“输棋”的概率都相等。如果前一把赢棋，则下一把赢棋的概率为2/3；如果前一把和棋，则下一把赢棋的概率为1/3；如果前一把输棋，则下一把赢棋的概率为1/6。已知小明第1把赢棋的概率为1/3，求小明第8把赢棋的概率。
【设计意图】 再次巩固全概率公式，并发散学生思维，在运用全概率公式时不一定只有两个事件如“A,B两家餐厅”，也可能如上题有三个事件“赢棋”、“和棋”、“输棋”，但是考察的本质都是一样的运用全概率公式写概率递推式，拓展思维。
环节四 巩固案——课后提升
1. 小明进行10次投篮训练，在前一次投中的条件下，后一次投中的概率为0.7；在前一次投不中的条件下，后一次投中的概率为0.5；已知小明第一次投篮投中的概率为0.8，问第6次投中的概率。
2.（2023届佛山市高三一模第20题节选）
某种猕猴桃整盒出售，已知各盒含0个烂果的概率为0.8，1个烂果的概率为0.2。顾客乙第一周网购了一盒该猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求顾客乙第5周网购一盒猕猴桃的概率。
3. 小王进行模拟测试，每次测试结果划分三个等级“优秀”、“良好”、“合格”，且每次测试中获得“良好”的概率是获得“合格”概率的两倍。如果前一次测试为“优秀”，则下一次测试仍为“优秀”的概率为1/2；如果前一次测试为“良好”，则下一次测试为“优秀”的概率为1/3；如果前一次测试为“合格”，则下一次测试为“优秀”的概率为1/6。已知小王第一次测试等级为“优秀”，求小王第n次测试等级也为“优秀”的概率。
【设计意图】 课后巩固，学而时习之，巩固当堂所学之外，在练习2（佛山市一模20题节选）再次深挖变式，在运用全概率公式写概率递推式可能出现数列的其他构造类型，如
全概率公式与递推数列
北滘镇莘村中学 练文杰
教学目标：掌握全概率公式，根据全概率公式推出数列的递推式并求通项公式
教学重点：全概率公式，根据全概率公式推出数列的递推式
教学难点：根据全概率公式推出数列的递推式
一．预习案——回归教材
阅读2019年A版人教版教材选修三第49-50页（7.1.2全概率公式），并回答下列问题
问题1：从有3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回。问第一次摸到红球的概率为_____，第2次摸到红球的概率是_____。
问题2：某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐随机地选择一家餐厅用餐。如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。
在问题2的条件下，同学们在小组内进行讨论：
追问1：第3天去A餐厅用餐的概率是多少？第4天呢？
追问2：第10天去A餐厅用餐的概率是多少？第10天的概率也是从第1天到第2天，从第2天到第3天，以此类推，一步一步慢慢推算的吗？有没有更好的办法？
追问3：第n天去A餐厅用餐的概率与第(n+1)天去A餐厅用餐的概率有什么关系？
追问4：列出上述关系式后，你想到用什么知识点去运算第n天去A餐厅用餐的概率？
二．练习案——考题再现
（2023届广州市荔湾区高三上统考第7题）
某学校有A,B两家餐厅，小明选择餐厅吃饭的规则如下：若前一天去A餐厅吃饭，则第二天去A餐厅吃饭的概率为0.4；若前一天去B餐厅吃饭，则第二天去A餐厅吃饭的概率为0.9；已知小明第一天去了A餐厅吃饭，则第七天去A餐厅吃饭的概率为（ ）
（2023届佛山市高三二模第16题）
有n个编号分别为1,2，...n 的盒子，第1个盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均为1个白球和1个黑球。现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子中，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推。则从第2个盒子中取到白球的概率是____；从第n个盒子中取到白球的概率是____.
总结归纳：上述题目，除了应用全概率公式，还用到哪些知识点？解决的思路或方法是什么？在此过程中体现了什么数学思想？
三．提升案——思维拓展
小明与电脑AI下棋，每把棋局只有“赢棋”、“和棋”、“输棋”三种可能，每把棋局中“和棋”、“输棋”的概率都相等。如果前一把赢棋，则下一把赢棋的概率为2/3；如果前一把和棋，则下一把赢棋的概率为1/3；如果前一把输棋，则下一把赢棋的概率为1/6。已知小明第1把赢棋的概率为1/3，求小明第8把赢棋的概率。
四．巩固案——课后习题
1. 小明进行10次投篮训练，在前一次投中的条件下，后一次投中的概率为0.7；在前一次投不中的条件下，后一次投中的概率为0.5；已知小明第一次投篮投中的概率为0.8，问第6次投中的概率。
2.（2023届佛山市高三一模第20题节选）
某种猕猴桃整盒出售，已知各盒含0个烂果的概率为0.8，1个烂果的概率为0.2。顾客乙第一周网购了一盒该猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求顾客乙第5周网购一盒猕猴桃的概率。
3. 小王进行模拟测试，每次测试结果划分三个等级“优秀”、“良好”、“合格”，且每次测试中获得“良好”的概率是获得“合格”概率的两倍。如果前一次测试为“优秀”，则下一次测试仍为“优秀”的概率为1/2；如果前一次测试为“良好”，则下一次测试为“优秀”的概率为1/3；如果前一次测试为“合格”，则下一次测试为“优秀”的概率为1/6。已知小王第一次测试等级为“优秀”，求小王第n次测试等级也为“优秀”的概率。
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