正三角形中的“十字模型”，两种方法诠释经典

近日，有同学在问这道几何题，同学们反应条件太少，得到的结论比较特殊，一时无从下笔，况且在正三角形中.....

方法一：平行四边形+共圆

分别作AD、DE的平行线交于点F，

则ADEF为平行四边形，∠FEC=∠DAE=60°，

而AD=EC，AD=EF得EF=EC，故∠ECF=30°

故∠HCF=90°，

而AF||DE，故∠BAF=90°，

得A、F、C、H共圆，∠AFH=∠ACH=60°，

故AH=AF，AF=DE，故AH=√(3)DE

方法二：

方法二：相似三角形

作DG、AI、EJ垂直于BC于点G、I、J

作EF⊥DG于点F

易知△AHI~△EDF

而EF=GJ=BC-BG-JC=BC-(1/2)BD-(1/2)EC

=BC-(1/2)（BD+EC）=BC-(1/2)（BD+AD）=(1/2)BC，

而AI=√(3)BI=(√(3)/2)BC，即有AI=√(3)EF

故AH=√(3)DE

点评：正多边形中的“十字模型”，解决方法大都是类似的于方法二，可以算得上是通法；而方法一也非常巧妙的利用了平移思想，将相关的线段放一起研究.两种方法都值得深思，都能给同学们一些启发.

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