灵机一动 | 第206期 完美五位数

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 206

完美五位数

一个五位数的各位数字都不相同（且都不是0）。从组成该五位数的五个数字中任意挑出三个可以构成一些不同的三位数（考虑顺序）；把所有这样的三位数都加起来刚好等于这个五位数。问符合上述要求的五位数有几个，分别是多少？

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上期问题回顾

NO. 205

PQ类数

对四位数abcd（1≤a≤9，0≤b,c,d≤9），若a>b，bd，则称abcd为P类数，若ac，c<>

注：题中用abcd表示一个四位数，而不是四个数的乘积。

分析与解答

答案：285

对于每一个Q类数，用9减去各位，得到一个P类数。反过来，对于每个千位不是9的P类数，用9减去各位，得到一个Q类数。这样就建立了千位不是9的P类数和所有Q类数的一一对应关系。所以题目答案就是千位为9的P类数的个数，对十位分类讨论，用乘法原理易知，答案为1～9的平方和，即285。（@汪老师sz）

题友解答精选

- 精选主要参考有依据有：①答案是否正确；②表述是否清晰；③是否具有创新性；④答题的先后顺序。

- 只在解答入选在此的才有电子书赠送，入选留言区的不包括在内。

◎题友 @周渊明 的解答：

如abcd是一个p类数，那么dcba就是一个q类数，反之亦然，但是当d为0时，dcba不是一个4位数，这种情况要排除，所以N(p)-N(q)就是d=0的p类数的个数 当b=0时，a,c各有9种可能，共81个 当b=1时，a,c各有8种可能，共64个 …… 当b=8时，a,c各有1种可能，共1个 所以一共有1+4+9+……+81=285个

◎题友 @ZhiYong.Zhang--张志勇 的解答：

对任一P数abcd而言，若d不等于0，则dcba为Q数.因此为求N（P）-N（Q）,不必考虑这些数，因为它们互相抵消。 但是，形如abc0的P数没有相应的Q数抵消它；形如abc0的Q数也没相应的P数抵消它，然而并不存在这样的Q数。 所以答案等于形如abc0的P数的个数： 由条件可得，此时，1<><=9 and=""><><=8. 当b="i时（i=0" 1="" 2="" 3="" ...="" 8）,相应的p数有（9-i）*（9-i）个，因此这类p数有1+4+9+16+25+36+49+64+81="285个.">

◎题友 @包永林 的解答：

假设abcd是个有序排列的数组（a可以等于0），那么，由对称性可知这个时候的P类数和Q类数应该相等。又因为从P类数和Q类数的定义可知P类数中a不可能是0，Q类数中a可以是0，因此题干中的N（P）-N（Q）的值相当于在假设中的a＝0时的Q类数的个数。 在数组abcd中，a＝0时，b可以取1~9，分别进行讨论： b＝1时，c只能是0，此时d＝1~9，Q类数有9个； b＝2时，c可以取0和1，c取0时，d＝1~9，c取1时，d＝2~9，Q类数有9+8个； …… 以此类推， b＝9时，c可取0~8，Q类数有9+8+7+…+2+1个。 上述九种情况全部加起来，也就是a＝0时的Q类数一共有92+82+72+…+22+12＝285个。 所以，对四位数abcd（1≤a≤9，0≤b,c,d≤9），N（P）-N（Q）＝285。

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