数就是一种思想

弗朗西斯·苏说：错过数学，就意味着未曾经历人类那些美丽的思想。

数学家哈代在《一个数学家的辩白》中提到：当埃斯库罗斯（古希腊诗人）被人们遗忘了,阿基米德仍会被人们记住,因为语言文字会消亡，而数学思想却不会。

 

哈代（Hardy）

也有人感慨——数就是一种思想。那就循着数的发展历程，聊聊先贤们的思考吧！

一

从缺少0的自然数开始

我们将用以计量事物的件数或表示事物次序的数称之为自然数。至于自然数何时产生，并不可考，共识是，人类自从从事生产实践活动后，对自然数的认识便开始了，慢慢的有了数字符号。四大文明古国不约而同的采用了一横或一竖表示数字“1”，从“1”开始了数字符号的演变，“1”便有了“数字之母”的称谓。

四大文明古国早期数字

从上图四大文明古国早期数字上，不难看出，上下左右的排列组合，开始累积起越来越大的数，慢慢的从“5”或“10”开始，有了不同的变化。

古埃及的象形数字

符号背后有着不同文明的各自思考，稍稍有所不同的是古巴比伦文明，由于古老的美索不达米亚平原盛产一种软泥，削尖的木笔在软泥上就会印下一个类似倒三角形的印记，称之为楔形（是下面尖上面粗的一种形状，像楔子）数字。

木笔印记的楔形数字

然而，作为数字符号开始的自然数，尽管在不同文明都最早出现，但不约而同的缺少0，这也导致了后来许多地区没有把0归入自然数范畴，0是不是自然数一度争议不断。

二

源于分配的分数

自然数后，分数开始出现，比较一致的看法是分数源于分配，当一个整体要被分割成若干份，分数自然产生。

在许多民族的古代文献中，都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早在公元前2100多年，古代巴比伦人就使用了分母是60的分数，公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数，古埃及人就曾创造了这样的符号表示分数：

分数在我国也很早就出现了，春秋时代的《左传》中记载有诸侯的都城大小，最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。印度的分数表示法和我国相似，再往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的表示法由此诞生。

三

导致数学危机的无理数

分数之后，紧接着产生的并非负数，而是无理数，这也是导致了第一次数学危机产生的“元凶”。

危机源于信仰，在哲学成为生活方式的古希腊，人们非常热衷于“世界的本源是什么”这样的话题。

公元前600年前后的泰勒斯提出“世界的本源是水”，他的学生阿那克西曼德提出“世界的本源是火”，有人则认为是一种暗物质，直到公元前520年前后，毕达哥拉斯提出世界的本源是数，“万物皆数”成为了毕达哥拉斯学派的信仰。

但有所局限的是，毕达哥拉斯把“数”局限在“能表示为整数比形式”（即分数形式）的数，也就是有理数。而熟知勾股定理的学派信徒发现，单位正方形的对角线长，无论如何都无法用“整数比”表示，信徒希帕索斯透露了这一发现，动摇了学派信仰的基石，引起了学界的恐慌，从而导致了第一次数学危机的产生。

这种无法用两个整数之比表示的数，被称为“非可比数”，即“无理数”。无理数出现而导致的数学危机，极大的推动了数学的发展，使得古希腊人坚信，观察和测量并不一定可靠，只有通过演绎推理证明的结论才是靠得住的，从而催生了《几何原本》的诞生，公理化体系由此提出。

四

华夏祖先独领风骚的负数

约公元前400多年，魏文侯的老师李悝在他编纂的《法经》中，提出类似“3-5”这样的问题，用不足“2”来表示，这是迄今为止发现的最早关于负数的表达。

后来，成书于公元一世纪的数学专著《九章算术》，便有正负数加减法则的记载：

同名相除, 异名相益，

正无入负之, 负无入正之.

其异名相除, 同名相益,

正无入正之, 负无入负之.

魏晋时期数学家刘徽给《九章算术》作注时，进一步提出了区分正负数的方法——正算赤，负算黑，否则以斜正为异。意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数，也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。

华夏祖先用颜色区分正数与负数，也开始了用正负数来表示相反意义的量，例如他们用红色算筹记账以表收入多少，黑色算筹表示支出。

其它文明对负数的认识则来得较晚，例如从古巴比伦人解二次方程开始，到丢番图的《算术》，负根一直未曾出现。稍早使用负数的便是印度人，数学家婆罗摩笈多在628年完成的《婆罗摩修正体系》第18章中，给出了正负数的运算法则, 认为负数就是负债和损失, 并用小点或小圈标在数字上面表示负数。

欧洲人一直忌讳负数的存在，人们一度陷入了关于方程负根意义的讨论中，文艺复兴开始后的好长时期，包括韦达、帕斯卡在内的数学家都认为负数是荒谬的。然而负数的不被认同并不妨碍虚数在那个时期被提出，不断的争论中，思想的碰撞激起了关于数的绚丽火花。

五

魔鬼数字0

作为最重要的数字之一，0的产生颇具争议。有记载早在公元前3000多年，古巴比伦人就会用空位表示0，古代中国的筹算系统也采用了空位的方法。也有人提出，古埃及人曾用特别符号表示0，玛雅数字中0则以贝壳模样出现，但当玛雅人以各种形式使用“0”表示“没有”后，0的使用规则又成了一道难以逾越的鸿沟。

有着确凿证据的是，印度人发明了现今使用的“0”，并且将它使用于十进制的进位过程中。0的出现时间现已考证为公元300年前后（印度人认为早在公元前2000年左右，婆罗门教文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用），在印度的一个神庙石壁上也发现了这一符号。

印度神庙石刻“0”

0在古印度出现绝非偶然，这与他们的宗教信仰有关。在印度宗教中，世间万物皆生于“无”，“无”是人类追求的最高境界，狂热的宗教文化“空”奠定了零产生的思想基础，古印度人能够自然的接受表示“没有”的0。

当阿拉伯人将包括0在内的印度数字传入西班牙后，由于罗马教皇认为0是一个魔鬼数字，对使用者施以酷刑，进行封杀，因而欧洲人很长一段时间未曾使用0作为数字符号。

有学者甚至认为，正是由于封杀0的缘故，已经掌握了阿基米德的逼近法计算圆周率的欧洲人，小数点无法进位，才导致祖冲之的π近似值领先世界上千年。

负数得以承认，也使0的含义不再束缚于“没有”，成为了介于正数与负数之间的中间数，一个基准，甚至被视为一个平衡关系的支点。

六

三次方程求解催生的复数

至此，现代意义上的实数在时间序上，经历了自然数、分数、无理数、负数以及0的出现，终于汇聚一堂。由于实数与数轴上的点一一对应，而数轴描述的是一维世界，所以“实数”也被称之为“一元数”。

“二元数”指的便是复数，这与虚数的引入有关，它源于方程根的求解。

对于一元二次方程，当判别式△＜0时，认定方程无解，一度时间人们认为这是无可厚非的。

为了解决这样的疑惑，尽管笛卡尔在1637年就引入了虚数的说法，但在莱布尼茨看来，这是无法接受的。然而类似情况总是反复出现，又不得不面对这样的现实。

事实上，接受虚数的存在只是一个时间问题，当欧拉引进了符号i表示单位虚数后，一切便迎刃而解，进而复数概念于1813年被高斯确立。

人们发现，用直角坐标系的y轴表示虚数，则复数z=a+bi（a、b均为实数）就是复平面上的一个点，用复数解决平面几何问题，势如破竹，复数为二维世界的描述增添了一把利剑。

七

思想飞扬的“x元数”

由于复数的广泛应用，人们很自然地又想到，能不能仿照复数集找到“三元数”?

爱尔兰数学家哈密尔顿经过长期的研究发现不存在三元数。因为要想在实数基础上建立三维复数，使它具有实数和复数的各种运算性质，这是不可能的。

他在1843年发现一个“新数”，这种新数要包含四个分量，并且乘法交换律再也无法得到满足。于是他开始研究“四维复数”，提出了“四元数”的概念，由实数加上三个虚数单位 i、j和k 组成，而且它们有如下的关系：i² = j² = k² = -1， iº = jº = kº = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi+ cj + dk（其中a、b、c 、d是实数）。对于i、j和k本身的几何意义可以理解为一种旋转。

四元数的出现，成功的开启了近世代数的大门，尽管四元数的用途仍在争议，但它的运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。

四元数以后还诞生了八元数、双四元数等，它们都是超复数。八元数没有结合律，代数运算律在数的发章过程中逐渐丢失。我们生活在三维世界里，自然地，复数和四元数有着众多的应用，而八元数的维度多，且其乘法不再满足交换律和结合律，它的应用有待人们进一步探索。

历数数的发展历程，混沌与纠缠中，人们慢慢明晰了方向，期间蕴含着对意义、探索、自由、真理的追寻，无处不在的是思想的碰撞，某种意义上，数就是一种思想，人类智慧的结晶。