前言
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对于高中生来说，这两个关系应该都能信手拈来，不就是正交分解法么？
好了，剩下的就是枯燥的数学化简，然后你会假装惊讶地发现——哎呀，居然有
瞧着没，公式证明略显麻烦地得出了一个由图看来显而易见的结论，所以你在这篇文章里就先忘了那些复杂的公式，咱们来好好聊聊几何吧。
上面这个例子已经明确告诉了我们，在平面直角坐标系里进行坐标变换时，线段长度的表达式不会随之而变！
根据化曲为直的极限思想（点我复习哟），线元不就是上述例子里的线段长度的平方么？也就是说在平面直角坐标系里，线元是一个坐标变换的不变量！
如果推广到三维直角坐标里，线元就变成了
咱们将满足上述线元特点的几何称为欧几里得几何，简称欧式几何。这是我们最为熟知的几何，因为我们的生活环境就是如此。这里我并不想展开去说欧式几何的详细定义，只是告诉你这种几何的名称以及它的线元特点。
所以可以这样说：线元决定了欧式几何的性质（事实就是如此）！如果你指定了一个其他类型的线元，也就定义出了一种新的几何！
或许你觉得线元的例子和咱们关心的洛伦兹变换好像没什么关系，毕竟洛伦兹变换里除了位置坐标存在变化关系外，还有时间也存在变换关系。
既然你提到了这一点，要不咱们就参考把平面直角坐标系加一个坐标轴升级为空间直角坐标系的办法，在空间直角坐标系上还加一个坐标轴表示时间，你看如何？啊~~~四轴坐标系，你比三轴多一轴......
打住打住，咋还唱起来了？从平面直角坐标系变为空间直角坐标系，增加的坐标轴依然是用来表示位置的，是同类；而现在你要增加一个时间轴可行？
你想呀，在相对时空观里，不同惯性系里有着自己的时间！也就是说更换一个惯性参考系后，坐标和时间都得跟着变换！从这个角度来说，时间和坐标的地位是等同的嘛！
这便是闵氏几何的创始人闵可夫斯基的新观点：空间和时间自身的概念应该淡化，两者必须结合才能作为独立的实体存在。
不理解这段话是不是？放心好了，爱神本尊开始也是对此嗤之以鼻的，指责他大学时期的数学老师闵可夫斯基这就是多余的数学，你数学好有什么了不起？按照你提出的观点，我本人都开始不理解相对论了！
不知道是不是因为闵老师将学生时期的爱神定义为“懒骨头”的原因，如今学生出了名就开始瞧不上老师了。
不过姜还是老的辣，几年后当爱神回过神才发现闵老师的贡献超级巨大，亲口承认：“如果没有闵氏的四维时空表述，相对论仍将处于襁褓之中！”哈哈哈，真是用前嫌人丑，用完成癞皮狗，大佬也是会双标的嘛。
好啦，回到正题。至于闵氏几何有多大贡献，你耐心往下看便知，现在咱们先建立一个由三个坐标轴加一个时间轴的四维直角坐标系。
你说你想象不出来这个四维坐标系？好吧，我也画不出来，稍后咱们画一个最简版的时空坐标系，现在你就姑且认定四维坐标系已经建立了。
上一节里，咱们发现在空间直角坐标系里的线元具备坐标变换的不变性，是不是可以同理得出在四维时空坐标系的线元也具备坐标变换的不变性呢？
而且类比空间坐标系里的线元表达式
类比虽好，但是不要上瘾哟！咱们还是要像上一节那样基于确定的坐标变换规则来证明一下。
既然你想构造线元，是不是要在坐标系里找出两个点才能连成线呢？于是咱们给出两个点，它俩在两个不同惯性参考系和里的坐标分别记作
则两点在不同惯性参考系里各个坐标轴上的间隔分别为
你不是想验证四维时空里的线元是不是上面猜想的那样么？那你就把刚刚得到的间隔们先各自平方呗，看看会有啥结果。
经过一番简单但是枯燥的数学化简后，你得到的结果是：
发现什么秘密没？等号两边的形式完全一样，只是坐标不同而已！说明
考虑到你想在四维时空坐标系里类比找出具有坐标变换不变性的线元，喏，这个整体就可以考虑将它看作是四维时空坐标系里的线元！记作
虽然从构建坐标系的角度来看，四维时空坐标系无非是在三维直角坐标系上再添加一个时间轴，并且把时间和坐标看成同等地位的坐标，但是指定一种新的线元就定义了一种新的几何，所以闵氏几何和欧式几何并不相同。
不过你会发现，无论是在欧式几何还是在闵氏几何，各自的线元都具备坐标变换不变性的特点！而且对于闵氏几何来说，其线元天生就具备洛伦兹变换不变性，所以它对相对论的作用可想而知了。
如果你觉得上面的坐标计算让你感到不直观，那就做好准备开始看图吧。对了，你知道要给谁画图么？要画什么样的图么？来，往下看。
咱们关心的是一件件具体的事件，比如举办世界杯，又比如这谁和那谁发生了什么花边新闻，等等。你会发现，无论具体的事件是否重要，它都会涉及到具体的对象、具体的位置（或区域）和具体的时刻（或时段）。
对此，物理学表示这些在我眼里通通都给模型化——即物体的事件发生在空间的一点和时间的一瞬（一个时刻）。更抽象地说，无论有没有什么有意义的事情发生，空间的一点和时间的一瞬的结合便是事件！
至于咱们说的时空便是全体事件的集合，那么单拧一个事件来说，它便是时空里的一个元素，或者称作为一个时空点。
既然如此，当你关注某个物体的全部历史（即全部的相继发生的事件）时，这些事件便是时空里的一系列时空点，它们积点成线便成为时空里的一条曲线！它有一个响亮的名字——世界线。
我知道你疑惑啥，世界线这名字怎么稀奇古怪的？它不就是相当于把咱们的脚印连起来形成的轨迹么？不错，就是这个意思！只不过爱因斯坦把四维时空称为世界，你在世界里连成的线不得叫世界线么？给大佬一个面子撒。
时空和世界线虽然易懂，但是属实有点抽象不是？所以咱们才会画出时空图来直观表示时空和世界线。现在你应该知道咱们是给谁画图以及画什么图了吧？
而上一节已经说过，闵氏几何是四维时空的产物，你要我在纸面上画出四维时空坐标系属实是难为我了。因为即使采用立体画法，在纸面上最多也只能表现3个坐标轴，刨去一个时间轴后，空间坐标轴最多只能画2个。
你聪明的头脑里要时刻清醒地认识到每一个同时面代表了某个时刻的整个空间！只是我在图中无法将这个面画成空间形态而已！
咱们把上图所画的坐标系称为某个惯性参考系（比如地面或者相对地面匀速直线行驶的火车）里的基准坐标系，因为某个惯性参考系里的坐标系可以有很多个。
比如取不同的原点、坐标系整体平移、坐标系整体旋转等操作就能得到该惯性参考系里一个新的坐标系，所以咱们得定下一个基准。
另外，涉及不同惯性参考系之间的坐标变换时，如果你不事先确定一个基准坐标系，坐标变换岂不是变了个寂寞？
敲黑板！你不要以为此图是你在高中物理里经常看到的位移时间图像哈，人家可是根正苗红的时空图！
说完了时空图里的坐标系，接下来就该有请主角——世界线登场啦，先来定性地简单了解一下它吧。
再来看一条特殊的倾斜世界线（图中的浅紫色线），它正好沿着两根坐标轴的夹角平分线。显然物体的位置随时间正比例变化，所以该物体一定是匀速运动的，于是咱们关注的重点就是物体以多大的速度在运动。
这个物体不是别的，正是光（准确说是光子）！光子的世界线就是这么一条特殊的倾斜直线，其斜率的倒数就是光子的速度。
既然世界线的斜率倒数表示物体的速度，所以世界线越陡峭其斜率越大，那么斜率的倒数就越小嘛。
所以有质量的物体做匀速运动时的世界线是一条比光子世界线更陡峭的倾斜直线（上图中的绿色线）！为了方便叙述这样的世界线，它们有个名称——类时曲线。
对于世界线有了初步的定性认识后，咱们得开始定量理解世界线啦（依旧在最简单的二维时空图里进行），毕竟你要想用闵氏几何去理解相对论，总不能只停留在朦朦胧胧的定性层面撒。
要想定量研究闵氏几何，它里面的两点距离呀、曲线长度呀、两直线的夹角呀等等是咱们想要了解的东西。本着线元决定几何的思想，刚才提到的这些要素都与线元脱不了干系。
鉴于这个系列的文章最终是为找寻电磁场的作用量而服务的，所以闵氏几何里的定量要素只会挑着写啦，来瞅瞅世界线的线长吧。
类比于欧式几何里曲线长度就是线元根号的积分，闵氏几何里的曲线长度同样如此。不过由于闵氏线元里前的负号会导致线元
对于有质量的物体来说，其世界线如下图所示的绿线，即曲线上任意一点处的斜率都比光子世界线的斜率大。
聪明的你应该想到了线元大于零的世界线有什么特点了吧？
一脸懵逼的你是不是觉得不可思议？我在二维时空图里明明画出了一条线，你告诉我它的长度为零？！
没办法，谁让线元决定几何咧？既然闵氏几何的线元如此，你就得承认在它地盘上计算曲线长度的规则！不要拿你在欧式几何里形成的惯性思维去思考闵氏几何里的结论，它俩的线元表达式不同，所以彼此的结论不同有问题吗？
当然喽，时空图里肯定会出现这样的曲线：有的部分其线元小于零，有的部分其线元等于零，而有的部分其线元大于零。你知道是怎么回事，知道该部分的线长怎么求就可以啦。
至于线长到底意味着什么？咱们先卖个关子，后面再说！
依旧本着从定性分析到定量计算的发展过程，咱们先来看看闵氏几何是如何定性解释火车雷击事件的吧。
上一篇里介绍过爱因斯坦曾经用“火车雷击”的例子提出了同时的相对性，对于这个定性分析的过程，闵氏几何又是如何一展身手的呢？
接下来就该画出从火车两头发出的光子的世界线啦。光子的世界线你应该很熟悉啦，所以从火车两头发出的光子的世界线如下图所示。
两条世界线的斜率大小相等，唯一的区别就是斜率的符号不同，这是因为从两头发出的光朝火车中点的传播方向刚好相反嘛，世界线斜率的符号正好体现出光子速度的方向。
咋样，几条世界线就把这个问题解释得清清楚楚，闵氏几何还好用吧？
如果你觉得在同一个坐标系里画出所有物体的世界线有点繁琐，那咱们就各管各，分别画出两个惯性参考系里的时空坐标，正好后面用闵氏几何定量讨论问题时用得上。
前面咱们在画物体的世界线时就有过这么一条特殊的世界线——如果物体相对参考系静止且位置坐标处于原点，那么它的世界线就是一条与时间轴重合的线。
请注意，咱们是在闵氏几何里讨论问题！你凭啥认为新时空图就是将旧时空图顺时针旋转一下就能得到呢？咱们不能再犯想当然的错误了，你在绝对时空里难道还没有吸取教训么？
由此就引发了一个问题，你觉得下图中的两段线长谁更长呢？
那该如何来避免被“欺骗”呢？来来来，这里有一款居家旅行必备良药——校准曲线。先别管它的名字，咱们来看看如何在欧式几何里定性判断点到原点距离的远近呢？
我想你应该很容易想到以原点为圆心画出一系列同心圆，同处一个圆上的点到原点的距离都一样；谁处的圆的半径大，谁就离原点远。
为什么是圆呢？还不是因为欧式几何里的线元（二维情形）为
如果要找出各点到原点的线长相等的集合，其必然满足
这个等式不正好是圆的方程么？所以在欧氏几何里用圆来判断线长就是这么合理，于是圆就是欧式几何里的校准曲线。你可以理解为它就是一把尺子！
同样道理，在闵氏几何里，各点到原点的线长相等的集合满足什么方程咧？
咱们只考虑类时曲线区域里的情形，显然这个区域里的线元（二维时空情形）为
但是该区域里的线长为
这是啥？高中生应该不会陌生，这是双曲线的方程，如下图所示。即闵氏几何里的“尺子”是双曲线！
回到最上面比较线长的例子里，画出校准曲线，你是不是一眼就能看出谁的线长更长？
而
再次敲黑板，咱们是在谈论闵氏几何，请把欧式几何暂时放到一边去！
虽然闵氏几何有这些“欺骗”性，但是正如本文开头所说的那样，只你要抓住了“宗”，被“欺骗”的概率就会大大降低。
至于这个“宗”到底是什么，说白了就是你得正确区分出绝对的对象和相对的对象。
比如说事件本身是绝对的，但是它的坐标却是相对的。时空图里的同一点（就是事件）在不同的时空坐标系里的读数不就有区别么？
再比如说世界线本身也是绝对的，因为它是一连串事件的集合；但是咱们画出的“世界线”却是相对的，因为它的形状取决于咱们画图时所选择的时空坐标系。
总之，同一个绝对对象在不同参考系（坐标系）中会成为不同的相对对象。咱们在注意这些相对对象的区别的同时，可不要忘了它们所描述的是同一个绝对对象哟！这就是“万变不离其宗”的精髓！
当初洛伦兹为了解释莫雷——迈克尔逊的实验结果提出了物体沿运动方向会发生收缩，并且给出了具体的定量关系。不过洛伦兹认为这是一种真实会发生的情形，这个观点没有被后续的实验证实。
来到爱因斯坦这里，他根据新的时空观念推出了洛伦兹变换，发现物体沿运动方向确实会发生收缩，但是这只是一种运动效应！想要理解尺缩效应只是一种运动效应，来吧，闵氏时空图画起来呗。
咱们考虑一把静止在地面的“无限细”尺子，其目的是把尺子看成一维的线段，这样就只需画出最简单的二维时空图啦。
咱们先在地面系里画出竖直方向的时间轴，由于尺子上每一点都有自己的世界线，而这些点都相对地面参考系静止，所以它们的世界线都是竖直线，这些竖直的世界线进而形成世界面，如下图所示。
诺，你盯着这片世界面能看出尺子的长度么？你可能会下意识地说：尺子世界面的左右两条边界不就代表着尺头和尺尾的世界线么？那么这两条世界线之间的宽度不就是尺长么？
请清醒一下！你这个下意识可不简单啊！你这是默默地给尺子指明了一个参考系呀！为什么这么说呢？
尺头世界线与尺尾世界线的宽度指的是两条平行线之间的垂直距离，也就是说你要画出一条与时间轴垂直的线，这条线与两条世界线有两个垂足，两个垂足之间的距离就是你下意识说出的宽度！对吧？
好啦，轮到运动的火车了。话不多说，直接上图。
显然，在不同参考系里读出的尺长有不同值再正常不过了撒。现在唯一要确定的就是上图里的两段线长谁更长。愣着干嘛，你他娘的校准曲线咧？给老子用上啊！
校准曲线一上，线长的长短就现了原形！沿尺长方向运动的观察者读出的尺长要短，这不就是动尺缩短效应么？这哪里是什么洛伦兹猜测的真实缩短嘛？分明只是一种运动效应！
最后剩下的问题就是要稍微定量计算一下动尺缩短了多少。这就很简单啦，为了便于比较，咱们就统一在地面系的坐标系中进行计算。
显然线长
而线长
你瞧，两段线长的关系不就满足
说到钟慢效应，其实就是比较在两个不同参考系里的钟的读数时，观察者会觉得运动的钟的读数偏小。要说这句话并不复杂，不过有两个词语需要拿出来好好唠叨唠叨。
先说钟的走时快慢。若是你家的钟里的电池快没电了，你瞅瞅那指针是不是走得有气无力？如此情况下，电池给力的钟的指针走了一圈，这个快没电的钟的指针说不定半圈都还没走完，你说这会不会影响读数？
于是，咱们得选用指针正常走动的钟来进行读数，这样的钟咱们就称为标准钟吧。
你可能对于这个定义有点耿耿于怀，凭什么这么定义？
你想啊，标准钟就是你身上携带的一块钟，它始终和你是保持相对静止的关系。而你在自己的参考系里肯定会认为自己是静止的，这和古时候人们认为天动地不动是一个道理。也就是说在你自己的参考系里，你身上的标准钟是静止的。
这又有啥关系呢？你瞅瞅闵氏线元（二维时空情形）为
既然标准钟在自己的参考系里是静止的，那么线元的长度就只有时间部分有贡献。按照这类线元求线长的办法，线长为
所以这个结论是非常自然的，拿它去定义标准钟有何不可呢？
言下之意，每个观察者都会携带一个标准钟，都有自己对应的固有时。
标准钟定下来以后，还有个影响读数的操作就是设置起始时刻。你想想，两个钟都是标准钟，但是开始的时候，你把其中一个钟设置为一点、而另一个标准钟设置为两点，那么在以后的时刻里，两个钟的读数是不是始终相差一个小时？
所以你想公平地比较两个标准钟的读数是否不同，你得在开始的时候把两个钟设置为同一时刻，咱们称这个步骤为同步调零，这是第二个要说的词语。
嘿，问你一个问题：怎样把两个标准钟同步调零呢？
你看完这个问题可能会一脸懵逼，心想着设置时间不就是把钟背后的旋钮旋一下的事么？这还需要当个问题来问？
别急，你想想：如果这两个标准钟放在一起，咱们确实可以一起调节它俩的旋钮让它俩同步调零；可是如果两个标准钟没有放在一起该怎么办？
你可能会想：我派一个人去负责调节身处异地的标准钟，并且约定好一起调节旋钮。至于约定的方式，就喊1、2、3开始！
哈哈哈，想法不错，可是声音从你这传到你同伴那里是不是需要时间？当你调节好你的标准钟后，它已经开始计时了，可你的同伴可能才刚刚听到你的声音，显然身处异地的两个标准钟没有实现同步调零！
我猜你现在肯定和我杠上了——你不就是嫌声音传播的速度慢撒，所以才导致了这么一丢丢的时间差！我现在换一种约定方式，发射光信号总行了吧？同伴一看见我发出的光信号就立刻开始调节，这回总可以了吧？
要论抬杠的话，谁怕谁？光的传播速度确实很快，但是从你这传到同伴那里是不是需要一丁点的时间？我就是不想放过哪怕这一丁点的时间差！这下把你怼得没辙了吧？
好啦，别灰心，给你介绍一个可行的方案吧。
咱们还是事先做约定，但是约定的方式是这样的：你身上装一个反射装置，我在某个时刻向你发出一束光，你一看到光就立刻设置好你的标准钟的零时刻。与此同时，你身上的反射装置会把光反射给我，我会记录下看见来光的时刻。
于是，从我发出光信号到我收到光信号的这段时间里，其中间时刻一定对应着你的标准钟的零时刻！
一切准备就绪，实验开始。
这么抽象的文字想必你看起来有点头疼，还是来看看简单明了的时空图吧。
至于慢了多少，简单地算一算就知道啦。和上一节计算尺长的方法完全一样，咱们就在地面坐标系里进行两条世界线的长度。
显然线长
所以
别愣着了，来看图！咱们只需把火车系的时空图的坐标轴补齐，你就能一眼看出结果啦。
剩下的作业就留给你啦，你想画校准曲线也行，想直接计算它俩的结果也行，方法详解在上面已经全部给出了。
答案不出意外的是
敲黑板，动与静是相对的，无论观察者处于哪个参考系去观察，都是动钟变慢，这不正好体现了所有惯性参考系是平权的么？
但是你千万别一根筋地纠结到底是哪个钟变慢了，面对相对的事情，你非要一个绝对的答案，岂不是自讨苦吃嘛！
欧式几何中的长度是一个绝对不变的量，这正好对应着绝对空间的特点；加上绝对时间的观念，牛顿力学在这里生活得很滋润。
可是在狭义相对论里，单独看三维空间或者时间都不是绝对的，尺缩效应与动钟变慢无疑反映出了这个特点；如果把三维空间和一维时间组成一个整体的四维时空，它里面的四维“长度”才是绝对的。
这种绝对性体现在它不随坐标系的变化而变化，正好和相对性原理一拍即合，于是闵氏几何才和狭义相对论对于起来。
这篇介绍几何语言，目的在于从观念上彻底分清绝对和相对的事物，充分体现出时空图的直观性。待你把基本概念都弄懂后，咱们接下来就要去体会坐标语言便于表达和计算的好处啦。
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