现代几何----超越作图，极其抽象的的数学学科

前几篇伟岗聊了一些弯曲空间的问题，引发思考的是欧几里得的第五公设。大众的思维一般不愿意脱离直观性，可惜数学发展到一定阶段，直观性就会出现矛盾，这也是一个奇特的地方。数学的发展最终肯定会发现人类直接观察世界的不足甚至错误，经过严格的数学推理，甚至可能得到一个与直观世界完全相反的场景，这个对绝大多数人来说都是不能接受的，至少要经过很长时间的消化才能理解。

罗巴切夫斯基打破直观的平行世界，当时完全没有被理解也就显得非常自然了。就是后来得到大多数数学家家青睐的黎曼，他发表的第一篇黎曼几何论文也一样完全被忽视。其实摆在数学家面前的最大障碍应该是如何深入研究那些完全不能画出图形物体的几何性质？在逻辑没有问题的情况下，任何数学家都必须承认罗巴切夫斯基几何的存在，但是承认后接下来该怎么办？这才是最最关键的。

从现在的结局看，几何的研究成了集合论的主要部分，也就是说，研究几何已经不研究图形，甚至不研究具体加减乘除运算，因为没有对象给你直接去加减乘除，而是研究物体几何性质的集合规律是什么。这一点大多数人听起来就头大。也是现代数学脱离大众的一个重大原因。

数学究竟研究什么？这个问题到了现代也不是那么明显好回答的了。从只能研究离散的数，到微积分研究连续变化的事物规律也得心应手，再到用集合思维去研究物体的几何性质，数学研究的范围已经超过所有人的想象。

你要拿起任何一本关于微分几何的教科书，你可能五页都看不进去，一个巨大的疑问在你心中升起：这到底是在研究啥？

流形是微分几何研究的一个重要部分，但什么是流形呢？一个粗略的解释说，流形是一个好的欧几里得空间中的几何图形。但是这个好又怎么解释呢？从大体上讲，就是局部没有什么大的突变，比如空心，或者突然变大变小。这个似乎好理解。但是要把它翻译成数学语言就非常难了，特别是一些突破欧几里得几何限制的几何图形能不能也是流形呢？肯定是能，否则流形的研究就大打折扣，任何几何图形都可能是流形，这样研究流形就突破了诸如平行公设的限制。

事情开始复杂起来，由于不是欧氏空间中的几何，形状样子已经脱离了人类的想象，直接研究它们会非常困难。数学家想出了一个高招，就是用映射的方式来对付复杂的几何图形。简单讲就是，如果存在一个映射，能够把复杂几何物体一一对应到一个欧氏空间中的流形，那么这个复杂物体的几何特征也是流形，这种存在一一映射关系的两个几何体，数学上叫同胚。

所以可以这样理解，数学家先确定复杂物体（不管它是存在于欧氏空间还是非欧空间）几何性质的集合，然后找一个一一对应的映射，把复杂物体化作标准欧氏空间中好的几何体，这样复杂物体的几何特征就可以研究出来的。

这个一系列操作貌似非常难，至少有下面两大障碍：第一，复杂物体的几何特征集合怎么确定？第二一一对应的映射怎么找？整体确定一个非常复杂物体的几何特征集合几乎是不可能的，数学家想到的是，只研究局部，也就是用微积分的手段研究复杂物体极小范围的几何特征，用小范围的性质来决定整个物体的几何特征，这就是所谓的微分几何。

接下来的问题就是映射怎么决定？这个问题就要思维拓展开来，不能把映射看成简单的数学公式，它是一种广泛的对应。比如说如果一个物体能展开成平面，那么这个物体就存在一个一一对应的映射关系，把这个物体跟平面关联起来,也就是说跟平面同胚。

具体数学上是如何推理和演算的，这个就非常难解释了。需要对数学很有兴趣的人去深入钻研。一般只要理解所谓微分几何就是通过极小部分的映射对应，把复杂物体跟好的欧氏几何物体等同起来，再用微积分的手段，确定这个复杂物体的几何特征。

读到这里，相信很多人会有这样的疑问，我要知道这些内容干啥？这个问题也很难回答。也许保持对数学高深理论的兴趣会提高你的科学素养，特别是对数学的理解和思考。数学内容已经发展得太深奥了，即使数学家对自己没有研究的数学内容也完全理解不了，更何况普通人。不过如果你持续对数学知识充满好奇，偶尔也接触一下深邃的数学内容，你就会在你平时需要数学知识时，轻松学好那些实用的数学，毕竟你连数学家研究的数学内容都很好奇的接触过，平时的数学知识对你根本就没有难度了。