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线性代数的秘密:矩阵的特征值怎么求?
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2022.05.04 辽宁

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说起矩阵的特征值,需要讲的东西实在是太多太多才能获其精髓,我今天只教大家如何计算特征值,之后再说特征值的意义是什么吧。

今天我就打算讲明白这一个公式,它非常重要,希望大家牢记,我们以后会经常提到

话不多说,让我们开门见山:

有请我们的老朋友

如何求这个矩阵的特征值呢?

直接代入上面那个公式,就可以得到:

化简可得:

我们发现,我们的明星矩阵有两个不同的特征值,而且都不为0。

我们再试几个:

这个矩阵12 36 成比例,秩明显是1

这个矩阵的rank明显是1,不满秩。

我们发现,不满秩的矩阵虽然也有两个不同的特征值,但有一个特征值是0,有一个不为0。

我们再看一个三阶的:

先看一下它的是多少?

用第三行减第一行,第三行变成0,第二行减第一行,第二行也变为0,然后只留下第一行没办法变了,这就是最简形式,它的秩是1

我们继续代入之前那个公式看一下效果:

这个秩为1的矩阵,居然只有一个非零的特征值3。还需强调一下,我们这里只研究方块矩阵的特征值,因为它和我们的物理学,工程学息息相关具有现实意义(这一次我先不讲,比如自然界中物体的本征频率就和特征值有关系)如果没有实际意义的话,我想也不会有人愿意研究它。

你学会计算矩阵的特征值了吗?特征值矩阵的秩又有什么关系呢?欢迎大家思考后留言讨论。

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