拉格朗日中值定理

前面讲了，三大微分中值定理为,罗尔、拉格朗日和柯西中值定理

这节课学习的是，拉格朗日中值定理。

1 定义

我们知道，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,如果，我们将罗尔中值定理中  这个条件去掉，并且把结论改为,这样就将罗尔中值定理，推广到了拉格朗日中值定理。

定理（拉格朗日中值定理）.如果函数满足：

• 在闭区间上连续

• 在开区间上可导

那么  ，使得  。

介绍完了定义，我们来看看它的图像。

从图上，可以很明显地看出  就是割线(图中的红线)的斜率。这样拉格朗日中值定理的结论就是，在  内至少存在一点  ,这一点的切线斜率，与割线的斜率，是相等的。也就是至少有一点，它的切线与割线是平行的。

2 联系

前面我们说过,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，这在几何上就有所体现。具体地，罗尔中值定理，可以看做拉格朗日中值定理旋转到特定角度后的结果。

在上面这组图中，可以看出

这说明，拉格朗日中值定理确实是罗尔中值定理的推广。

3 证明

定理（拉格朗日中值定理）.如果函数满足：

• 在闭区间上连续

• 在开区间上可导

那么  ，使得  。

证明 .引进辅助函数：

 容易知道，  满足：

• 在闭区间  上连续

• 在开区间  上可导

所以根据罗尔中值定理可知，  使得  ，即： 

 由此可得  。

看懂上面这个证明并没有难度，但要自己写出来却不容易，其中的难点，就是构造出辅助函数。那为什么在上面那个证明中，要构造出这个辅助函数呢，下面我们就来分析一下。

3.1 辅助函数构造

首先对拉格朗日中值定理的结论进行变形

 结合罗尔定理，我们很自然联想(1)式左边是某个函数的导数就好了  这样，可以假设 

 很容易验证

则  满足罗尔中值定理，存在  使得

即(1)式成立，由此拉格朗日中值定理就证明出来了。

我们用同样的通俗易懂、图形化的方式，对《线性代数》、《单变量微积分》、《多变量微积分》、《概率论与数理统计》进行了精讲：

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