数论那些事儿之高斯和《数论探究》

今天给读者朋友们介绍一下大数学家 Gauss 和他的专著《数论探究》的内容 , 希望读者能喜欢 . 更多精彩内容请关注：

从19世纪开始 , 数论逐渐成为现代数学中的主流且同时产生了代数数论和解析数论两大分支 , 原因就在于理论上的系统化和研究方法上的创新 , 这就不得不提及大数学家 Gauss 和他的《数论探究》一书 . 而《数论探究》的前言里写道 , Euclid 和 Diophantine 都研究了数论中的许多特殊的规律 , 但数论需要由一般原则 , 这些原则已经由 Fermat , Euler , Lagrange 和 Legendre 开始研究 . 《数论探究》一书共有七章 , 前四章分别是同余 , 一次同余 , 幂剩余和原根指数 , 二次同余和二次互反律 , 首先在这一部分 Gauss 采用了同余式符号 , 系统地阐述了同余式运算法则和模 同余类的概念 , 并严格地证明了一系列关于同余性质的重要定理(如 Fermat 小定理 , Euler 定理等) . 其次 Gauss 在这一部分论述了原根和指数的概念和性质 , 用现代数学的语言来说就是研究有限 Abel 加法群 和乘法群 的结构 , Gauss 严格证明了乘法群 是循环群 , 其中 是素数 , 而该群的生成元是模 的原根 , 事实上原根存在定理是由 Euler 提出来的 , 只不过 Gauss利用指数理论计算出模 的原根共有 个 , 其中模 的原根就是 阶乘法循环群 的生成元 . 然后 Gauss 还给出了一次和二次同余方程的解法并用来求一次和二次不定方程的整数解 , 即 Gauss 叙述了一次不定方程求整数解的完整理论 , 对于一元二次同余方程 , 则采用配方法把问题归结为最基本的情形 , 由此建立了二次剩余的概念和性质 , 二次剩余理论的核心部分是二次互反律 , 而二次互反律的建立是 Gauss 的一项伟大的工作 , 它为代数数论的发展提供了源泉 .

《数论探究》的第五章和第六章则论述了二次不定方程 的整数解问题和具体应用 , 其中 , 如果上面的二元二次不定方程有整数解 , 那么称二元二次型 表示整数 . 于是 Gauss 研究下面的一般问题 , 即一个固定的二元二次型 可以表示哪些整数 ？

对于这个问题 , Gauss 并不是对二元二次型逐个进行研究 , 而是对所有的二元二次型加以分类 , 他继续使用 Lagrange 的方法 , 用行列式为 的二阶整数方阵群的作用 , 把二元二次型分成不同的等价类 , 而判别式 是等价不变量且等价的二元二次型表示相同的整数 . Gauss 还发展了 Lagrange 的约化方法 , 证明了对每个非零整数 , 判别式为 的二元二次型只有有限个等价类 . 当 时 , 即 是正定二次型 , 其中 , 证明是比较容易的且由 Lagrange 给出 . 而当 时 , 即 是不定二次型 , Gauss 重新定义了约化二元二次型的定义 , 证明需要克服很多困难 . 如果用 表示判别式为 的二元二次型的等价类的个数 , 那么 Gauss 对很多 计算了 的值 . 之前 Lagrange 给出了 , 而 Gauss 计算出当 时 且猜想对于其他负整数 均有 . 这个猜想直到1967年才由英国数学家 Baker 和美国数学家 Stark 分别独立证明 , 只不过 Baker 使用超越方法而 Stark 采用模形式理论 . 另外 Gauss 还作出如下猜想 , 即存在无限多个正整数 使得 , 这个猜想至今未解决 .

Gauss 还把 Lagrange 关于二元二次型的合成运算的定义进行了修改 , 并证明这是二元二次型等价类的运算且这个运算满足结合律和交换律 . 用现代数学的语言来叙述就是所有判别式为 的二元二次型的等价类似于合成运算形成 阶 Abel 群 , 同时他不但给出计算 的解析公式 , 而且还建立了二元二次型的 genus 理论 . 根据这个理论可以证明 , 如果 有 个不同的素因子 , 那么 . 直到19世纪后期 Dedekind 建立了理想论后 , 上述这些 Gauss 给出的结果直接转化为二次域理想分解和理想类群作为经典代数数论的结果 . 事实上根据 Gauss 关于二元二次型合成运算的定义 , 为了验证合成运算满足结合律 , 则需要验证 个等式是否成立 , 直到 Dedekind 采用理想论的语言后 , 这样的运算就是 trivial 的 .

《数论探究》的前六章是纯粹数论的内容 , 而第七章则是研究一个几何问题 , 即对满足什么条件的正整数 , 我们可以用尺规作出一个正 边形 , 上面的问题还可以用下面的方式描述 , 对于哪些正整数 , 可以用尺规将单位圆周 等分 . 在复平面上把单位圆周 等分 , 如果圆心在原点而其中一个分点为 , 那么 个分点为 , 其中 .  事实上很早的时候古希腊人就知道如何用尺规作出正三角形 , 正方形和正五边形 , 而且也掌握了用尺规作角的平分线 , 于是如果可以用尺规作出正 边形 , 那么一定可以作出正 边形 . 而 Gauss 在十几岁的时候就用尺规作出了正十七边形 , 这一结果的理论背景为如果 和 均为形如 的不同素数( Fermat 素数) , 那么可以用尺规够作出正 边形 . 后来在19世纪中期诞生了 Galois 理论 , 这意味着 Gauss 已经找到了可以用尺规构作出的全部正 边形 .

下面我们讨论一下 Gauss 是如何证明这一结论的 . 首先利用初等数论的知识可以证明 , 若用尺规可以构作出正 边形和正 边形 , 且 和 互素 , 则可以用尺规构作出正 边形 , 于是问题归结为要证明对每个 Fermat 素数 可以用尺规构作出正 边形 . 为此 Gauss 研究 , 其中 和 是 Legendre 符号 , 即对于与 互素的整数 , 有

而 称为 Gauss 和 . 故 Gauss 利用 Legendre 符号的关系 证明了

因此 , 进而 Gauss 还证明了上式的右边恒为正数 , 即 . 如果令 和 , 那么 和 , 于是有

根据平面几何的知识 , 如果确定一个单位长度的线段 , 那么可以用尺规构作出长度为任意正有理数的线段 , 更一般地 , 如果用尺规可以构作出复平面上的点 和 (即复数 和 ) , 那么可以构作出由四则运算得到的复数 , 和 以及开方运算得到的复数 , 事实上上述的这些结果完全可以用 Galois 理论来解释 . 于是我们设 和 是可以根据尺规构造出的复数 , 并设 是 Fermat 素数 , 记 以及取 为模 的一个原根 , 则模 的 个二次剩余为 , 其中 , 而 个非二次剩余为 , 其中 , 故 和 均是 个 次单位根之和 , 即 和 , 进而模 的四次剩余共有 个 , 即 , 接下来令 和 , 则 和 均是 个 次单位根之和且满足 . Gauss 证明了 可以用有理数以及 和 通过四则运算表达出来 , 从而 和 都可以由尺规构作出来 , 注意到 和 是二次方程 的解 , 根据求根公式可知 , 这一过程的运算只有四则运算和开方运算 , 于是 和 均可以由尺规构作出来 . 同理可以证明 个 次单位根之和为 也可以由尺规构作出来 , 如此进行下去便可以得到 可以由尺规构作出来 , 因此可以用尺规构作出正 边形 , 其中 是 Fermat 素数 , 以上就是 Gauss 的证明过程 .

Gauss 和以及它的各种推广成为了数论研究的重要工具 . 在18世纪时 Euler 研究 Fermat 猜想在 的情形时使用了三次单位根 , 而 Gauss 更进一步研究了单位根 的性质 , 这成为了后来研究分圆域 的开端 , 注意到 , 即 可以由 次单位根表示 , 则二次域 是分圆域 子域 , 于是任何二次域都是分圆域的子域 , 以此为契机引发了 Hilbert 的第12个问题 , 这是一个代数数论的问题 . 虽然第七章在研究几何问题 , 但实际上却讨论了代数数论中的分圆域理论 , 分圆域理论的深入研究是 Kummer 于19世纪中期的重要工作 .

以上就是 Gauss 的著作《数论探究》的主要内容 , 我们今天就暂时讨论到这里 .