康托在研究集合论的时候曾经给出一个有趣的命题，不存在一个基数绝对大于可数集而绝对小于实数集的集合。我们现在把这个叫做连续统假设（Continuum hypothesis，简称CH），之所以叫做连续统，是因为在康托那个年代把实数叫做连续统，很直接形象，实数总是密密麻麻，连续不间断地乖乖躺在数轴上。
康托本人始终相信这个假设是对的，他为此付出了极大心力，然而却是徒劳无功，他始终没有办法给出证明。后来的数学的发展也证明了这个假设很有趣，不过先不要急，因为我们还想要把连续统假设在数学上解释地更清楚一些，为此我们需要一些准备和努力。
第一个准备就是要定义什么是集合的基数，这里有一种情况是很显然的，就是集合里面的元素只有有限个的时候，这里我们举一个例子，比方说集合{天，地，君，亲，师，仁，义，礼，智}是一个9个元素的集合，我们就说集合的基数是9，更一般的对于有限个（n个）元素的集合，它的基数就是集合元素的个数（n)。
但是当集合里面有无穷多个元素的时候，问题就变得稍微复杂了一点，康托想出了一个聪明的办法，他说：假如两个集合S与T之间存在着一个双射（一个对一个的意思），这两个集合就拥有相同的基数。这个想法很直观，它是在说“T的每个元素只能配上仅仅一个S的元素，反之亦然”。我们首先将康托的这种想法运用有限的集合上。因此因此，集合{1，2，3，4}与集合{A,B,C,D}拥有相同基数。
我们之所以说康托的这种想法了不起，因为它纠正了我们一些错误的直觉，比方说初学者会错误地认为整数要比偶数多，有理数又要比整数多，但是如果我们利用康托的这种想法，我们不难证明，这三者是一样多的。因为我们可以将有理数集和整数集中形成一个双射。康托把凡是能跟自然数集形成双射的集合称为可列集。并且还利用他的对角线法则证明了整数集跟连续统（实数集）的基数并不一样。
在康托徒劳无功的很多年，希尔伯特在1900的巴黎数学家大会上再次将这件事提及，并将连续统假设列入著名的希尔伯特第一问题。
不过事情在1940年和1963年有了戏剧性的变化，哥德尔（公理化的豪言壮语与哥德尔不完备定理）在1940年指出连续统假设不能在ZFC系统下证否，寇恩在1963年证明了连续统假设同样不能在ZFC下被证明。因此，连续统假设逻辑于独立于ZFC。这些结果都是以ZFC的公设系统本身并不存在自相矛盾（相容性）为假设大前提，而这个大前提是被数学界广泛接受为对的。
这里我引入了所谓的ZFC系统我想我最好还是给点解释，ZFC系统是指集合论中最为广泛接受和使用的公理系统，其名称来源于其创立者和公理的缩写：
Z：Zermelo，取自Ernst Zermelo，是集合论的早期贡献者之一。
F：Fraenkel，取自Abraham Fraenkel，也是集合论的重要贡献者。
C：Choice，即选择公理，这是集合论中的一个重要公理，通常称为'选择公理'或'选择公理(ZFC)'。
ZFC系统定义了集合论的基本概念和运算规则。这些公理允许我们构建新的集合，并确保在该系统内不会产生悖论（矛盾）。ZFC系统的一致性（不存在矛盾）在数学界已经被广泛接受了，它其中有一些核心的公理。例如：
外延公理（Extensionality Axiom）：两个集合相等，当且仅当它们具有相同的元素。
空集公理（Empty Set Axiom）：存在一个集合，该集合不包含任何元素，通常称为空集（记为∅）。
对集公理（Pairing Axiom）：对于任意两个集合a和b，存在一个集合{a, b}，即包含a和b为元素的集合。
并集公理（Union Axiom）：给定一个集合A，存在一个集合B，B中的元素是A中所有元素的并集。
替代公理（Replacement Axiom）：若对于集合A中的每个元素a，都存在一个确定的集合B，那么存在一个集合C，C中的元素是B中对应于A中元素的映射。
幂集公理（Power Set Axiom）：对于任意集合A，存在一个集合P(A)，其中包含A的所有子集。
无穷公理（Infinity Axiom）：存在一个集合，它包含所有自然数以及满足一些条件的其他集合。
另外还有一个特殊的选择公理（Choice Axiom）是ZFC系统中的可选公理，它引入了一些有关选择的条件，确保我们在进行无穷集合的操作时不会遇到奇怪的结果。虽然选择公理在实际应用中很有用，但有时也会引起一些非直观的结果。因此，在一些独立的数学研究中，选择公理可能会被取舍，形成不同的公理系统。
所以到目前为止，我们得到的信息是即无法在ZFC系统中证明或推翻连续统假设。在这个系统内我们无法确定它的真假，我想这也是康托耗尽心力也无法得出结论的原因吧。
我观察到一个有趣的现象，历史上，喜欢一个“丰富”而且“大”的数学家倾向反对连续统假设；而喜欢一个“整齐”而且“可控制”的全集的数学家则倾向支持连续统假设。当然还有另一个声音是在说是对于集合的幼稚概念并不足够明确地使我们能分辨究竟连续统假设是对是错。想要彻底解决需要我们对集合的观念有革命性的创新认识。
好了，今天这期我们就到这里了，我们下期再见。
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