黎曼几何和广义相对论

直接上公式。大写字母代表任意量，希腊字母角标代表0，1，2，3，ijk角标代表1,2,3；默认0维代表时间，123是空间；相同上下角标对代表求和；'代表坐标变换

多数几何中，几何量在坐标变换时一个比较重要的量是原坐标系x和新坐标系x'的关系：

这个关系是个二阶张量，且逆元很简单：

之后可以定义张量，黎曼几何里的张量是在任意坐标变换时有相同形式的几何量，而不是torch那里定义的高阶矩阵。张量分两种，逆变张量变换需要满足：

协变满足：

为了像在离心加速度几何推导一样定义几何上的张量微分，需要定义张量平移。黎曼几何里的定义就是张量和位移的加权点积：

其中权重

叫联络。

普通微分的定义和场的梯度类似：

但是几何意义的微分由平移构成（参考向心加速度的推导），定义为：

同理可证逆变张量的微分：

定义黎曼几何中的直线是测地线，即该线的任意两点切线相互平行。令P点张量平移到Q点后和泰勒展开到Q的张量相差标量倍f，得到测地线（直线）形式：

观察交换顺序的微分差：

定义挠率为：

曲率为：

定义距离为向量的加权点积：

权重

叫度规。

挠度为0时平移不改变张量长度和度规协变微商为0是充要条件，此时有：

由度规定义的两点之间的距离，在最短时得到短程线：

和测地线相同。

进一步研究无挠时曲率，发现只有20个自由变量：

广义相对论场方程几乎就是猜出来的，认为表示物质的张量和表示空间的张量呈正比，由于表示物质的张量有10个自由度，因此表示空间的自由度也应为10，最终使用：

右侧正比系数是在弱场下（度规趋近于闵可夫斯基度规）和牛顿引力场公式对比得到的。

该方程有g的10个未知数和10个方程，但由于恒等关系，只有6个方程起作用，因此为了求解需要规范度规g：