和乐群是微分几何与整体分析中的核心概念，它精妙地刻画了流形上联络所蕴涵的整体对称性。通过描述向量沿闭路平行移动后产生的非平凡变换，和乐群将联络的局部微分信息与流形的整体拓扑结构深刻联系起来。其理论不仅是研究黎曼几何、复几何与规范场论的基本工具，更为理解流形的拓扑障碍与几何约束提供了关键视角。本文将从联络与平行移动的几何背景出发，详细阐述和乐群的代数与几何结构、其与曲率的深刻联系，以及在特殊几何中的分类与意义。
设 为一个连通光滑流形。令 为一个以 为结构群的主纤维丛，其相伴向量丛为 。丛上的一个联络 是定义在 上满足莱布尼茨律的微分算子：
在主丛 的层面上，联络等价于一个 -等值的水平分布 。联络的核心几何在于它定义了纤维丛中截面的平行移动概念。
给定一条分段光滑曲线 ，以及起点纤维 中的一个元素 ，平行移动的概念可以通过主丛上的水平提升来精确定义。具体而言，在与向量丛 相伴的主标架丛上，存在唯一的沿 的水平提升曲线。这个提升诱导了从起点纤维到终点纤维的一个线性同构：
称为沿曲线 的平行移动映射。当 为闭曲线，即 时，平行移动 成为纤维 上的一个自同构。
基于平行移动，我们可以定义和乐群。固定基点 。考虑所有基于 的分段光滑闭回路 。沿每条这样的回路 的平行移动 是纤维 上的一个可逆线性变换。所有这些变换构成的集合：
在映射复合下构成一个群，称为联络 在基点 处的和乐群。
若将向量丛 视为与主丛 相伴，其纤维型为 的表示空间 ，则 与 同构。此时，平行移动映射对应于结构群 中的元素。因此，和乐群可视为 的一个子群：
更精确地说，若固定主丛 在 处的一个点 ，则闭回路 的水平提升定义了 处的一个唯一的元素 ，使得提升的终点为 。映射 给出了从基于 的回路同伦类群到 的同态，其像即为和乐群 。
限制和乐群：若在上述定义中只考虑与基点同伦平凡的闭回路（即可收缩到一点的回路），则得到的子群称为限制和乐群，记作 。限制和乐群是完整和乐群的正规子群，且其商群与基本群 在完整和乐群中的像有关。
由于流形连通，不同基点处的和乐群是共轭的，因此我们常忽略基点，记为 。
和乐群具有一系列深刻的性质。
联络的曲率 是一个 -形式，其值在相伴的向量丛的自同态丛中，或在主丛情形下，为取值于李代数 的 -形式。曲率衡量了平行移动对无穷小闭路的依赖性。
安布罗斯-辛格定理给出了和乐群的李代数（称为和乐代数）的显式描述。固定基点 ，考虑所有从 出发的回路。该定理断言，和乐代数 由曲率形式及其各阶协变导数在 点的值所张成：
特别地，若联络是平坦的（即曲率处处为零 ），则局部平行移动与路径无关，和乐群是离散的，此时平坦联络对应于一个局部系统（或局部常数层），其性质由基本群的线性表示刻画。
在黎曼几何的背景下，若 是黎曼流形， 是其勒维-奇维塔联络（无挠、与度量相容），则和乐群 是特殊正交群 的子群。这个和乐群的分类与流形上的附加几何结构密切相关，是整体微分几何的经典与前沿课题。
根据贝尔热对黎曼和乐群的分类，对于不可约、非局部对称的完备黎曼流形，其特殊和乐群只有有限的几种可能，每一种都严格对应着一类重要的几何结构：
这些特殊和乐群的存在对底流形的拓扑施加了极强的约束，例如上同调群的非平凡性、贝蒂数的关系等，并将微分几何、代数几何与数学物理紧密联系在一起。
和乐群理论深刻地揭示了如何从联络这一局部微分结构出发，提炼出刻画流形整体性质的关键不变量。它起源于联络这一描述无穷小平行性的工具，却通过积分过程定义出刻画流形整体对称性的离散或连续群。从安布罗斯-辛格定理揭示的曲率生成本质，到特殊和乐群分类所对应的丰富几何结构，和乐群始终是深入理解流形几何与拓扑的核心语言。其在阿蒂亚-辛格指标定理、规范场论中的杨-米尔斯方程解模空间研究，以及现代弦理论中的紧化方案等领域的持续应用，彰显了其作为沟通分析与拓扑、数学与物理的桥梁所拥有的持久生命力与深度。
