流浪的太阳系

这个标题蹭了一下《流浪地球》的热度，不过下面要讲述的内容确实让我不由自主的用了这个标题。

1 银河系的旅人

我们知道月亮是围绕地球旋转的^[1]：

而地球以及太阳系中的各大行星又是围绕太阳旋转的^[2]：

整个太阳系又在银河系里“流浪”，围绕着银河系旋转，最终太阳系的运动轨迹看起来像是这样的^[3]：

通过视频才能感觉到一点宇宙级别的震撼^[4]：

如此漂亮的螺旋轨迹的数学方程是什么呢？很早以前，当牛顿们仰望星空的时候，就在思考类似的问题。

2 好长好长的毛毛虫

这种螺旋轨迹是追逐形成的，月亮追着地球转、地球追着太阳转、太阳追着银河转。

但计算真实的太阳系运动轨迹，涉及的变量太多，也不是本文可以完成的。不过数学中有一类“追逐问题”（pursuit curve），可以看作太阳系问题的简化，下面就来介绍一下。

2.1 互相追逐的毛毛虫

自然界有一种毛毛虫，它也习惯于追逐前面的毛毛虫，所以经常看到它们排队前进：

如果把这种毛毛虫放在正方形的四个角上：

各自盯着前面的毛毛虫，以同样的速度大小匀速前进，那么它们也会形成一个追逐轨迹：

这个追逐轨迹怎么求呢？首先根据对称性，毛毛虫之间始终构成一个正方形，只是这个正方向的边长会越来越小：

顺便说一下，这个旋转缩小的正方形极具美感，可能大家在各种艺术作品中见过：

2.2 轨迹的求解

言归正传，假设一开始，最右边的虫子的速度向量为

，很显然方向沿着正方形的边，速度的大小

 。这个速度向量可以拆分为水平方向和垂直方向速度（注意水平方向的速度是负的，因为和坐标系的正方向是反的）：

下面用极坐标来处理问题，涉及一些高中物理知识，不清楚可以自行查阅下维基百科关于角速度^[5]的介绍。

水平方向的速度是沿着极轴，所以可以表示为：

而垂直速度与极轴垂直，也就是切向速度，切向速度可以用角速度来表示：

综上可得：

因为虫子之间始终构成了正方形（只是边长在不断缩短），所以上面的代数式总是成立。

解微分方程：

假设正方形边长为 

 ，那最右边的虫子最开始的极坐标为：

也就是说微分方程的初值为：

代入通解：

所以最右边虫子的运动轨迹为：

其它几个虫子的运动轨迹只是初值不同，大家可以修改初值自行计算。

2.3 等角螺旋线

虫子的轨迹实际上就是等角螺旋线^[6]，这是由笛卡儿在1638年发现的，在鹦鹉螺的贝壳中也藏有此螺旋线：

大家还可以考虑更复杂点的情况，

 只虫子站在正

 变形的顶点开始互相追逐，得到的也是类似的螺旋线^[7]：

3 兔子与狗

毛毛虫之间的追逐是互相追逐，称为“多追逐者问题”。但太阳系之间的追逐，是单方面的追逐，更像追逐兔子的狗，称为“单追逐者问题”：

“单追逐者问题”肯定比“多追逐者问题”要简单些，只是计算要复杂些，所以放到后面来写。

3.1 求解

假设

 时（ 

 表示时间），兔子站在 

 处，狗站在 

 处，兔子以 

 的恒定速度垂直向上跑，狗的速度大小为 

 ，始终朝着兔子跑：

如果

 ，随着 

 的增加，最终狗会追上兔子：

这个追逐的轨迹怎么计算？思路倒不复杂，已知兔子以

 的恒定速度垂直向上跑，可以表示为速度向量：

 时，兔子初始位置在 

 处，可以算出兔子在 

 时刻的位移为：

而狗的速度大小为 

 ，方向始终指向兔子，那么根据几何知识可以算出 

 时刻狗的速度向量 

 ：

根据物理知识又可以知道，速度向量

 始终与狗的运动轨迹，即狗的位移函数

 相切：

那么问题就转化为了，已知轨迹的切线

 ，求轨迹的函数

 ，这正是微分方程^[8]要解决的问题。

解微分方程就可以得到答案，计算有点复杂，文末参考文档中给出了两篇文献^[9][10]，有详细解题过程。

4 小结

“追逐问题”就是太阳系运动轨迹的简化版，在解决这类问题时，仿佛与牛顿们为伍，这种感觉实在很美妙。