“无穷小”的争论：一个小小的数学概念竟然震撼了整个数学界？

提到'无穷小'，想必很多人对它的印象还停留在中学时老师教授的概念：以数0为极限的变量，无限接近于0。

或许很多人会心存疑问：这样一个大家再平常不过的概念，又有什么值得特别言说之处呢？事实上，只要稍加了解数学历史，尤其是微积分发展历史，就能知道这个小小概念对于整个近代数学的发展，甚至现代科技的发展有着至关重要的作用。

无穷小是分析学中的重要概念，在十七、十八世纪微积分诞生初期，数学家们对无穷小的观点各持己见：无穷小究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

微积分的创始人牛顿与莱布尼茨（图片来源于网络）

实际上，早在微积分发明之前，无穷小就已经在欧洲学术界掀起'血雨腥风'，拥有迥然不同的宗教和政治背景的欧洲思想家和学者们，都曾经不知疲倦地围绕'无穷小'这一概念争论不休，甚至做激烈斗争。这场斗争的知名度虽然远不如后来牛顿与莱布尼茨就'微积分之父'的名号之争，但论激烈程度，完全不亚于后者。

'无穷小'的思想实际上最初是在哲学范围内提出的。

公元前6世纪，毕达哥拉斯及其追随者声称'万物皆数'，意思是说，世界上的所有事物都可以用整数或者整数的比值来进行描述。公元前5世纪，阿布德拉的德谟克利特用无穷小计算了圆锥体和圆柱体的体积。接着，埃利亚的芝诺提出了若干悖论，说明无穷小会导致逻辑上的矛盾。

芝诺最著名的悖论之一是'阿喀琉斯追乌龟'。阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的10倍，乌龟在他前面100米开始跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟——因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟。然而，我们凭经验可以得知，阿喀琉斯会追上乌龟，从而导致了一个悖论。