和所有的数学分支类似，概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。其中的一个转折点就是贝特朗悖论。
古典派也就是高中时候学的概率论。它的核心哲学思想是：不充分理由原则。
1.1 不充分理由原则
雅各布·伯努利（1654－1705）：
提出，如果因为无知，使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现，那么应该给予它们相同的概率。比如：
硬币：由于不清楚硬币哪一面更容易出现，那么应该给予正面、反面相同的概率，即为
骰子：我们不清楚骰子哪一面更容易出现，那么应该给予每一面相同的概率，即为
此称为 不充分理由原则（Insufficient Reason Principle）。
1.2 古典概率
以不充分理由原则为基础，经由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（1749－1827）：
之手，确立了 古典概率 的定义，即：
未知的概率都为等概率
整个19世纪的人们都广泛接受这个定义，并发展出了一系列的定义和定理。
法国数学家贝特朗（也翻译为“伯特兰”）于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到了这个悖论：
原始的悖论比较复杂，下面我们给出一个等价的形式。
2.1 锯木厂的木头
问：有一家锯木厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在 尺之间随机浮动：
那么根据古典概率，该锯木厂生产出来的正方形边长在
解：根据不充分理由原则，因为不知道哪一种边长更容易出现，那么就应该给予它们相同的概率，也就是说 之间每一种长度都是等可能的。而 包含了一半的可能长度：
所以，正方形边长在 尺之间的概率为：
2.2 悖论的产生
刚才的问题还可以转为面积来解答， 尺边长的正方形面积为 平方尺， 尺边长的正方形面积为 平方尺：
同样，根据不充分理由原则， 平方尺之间的正方面面积是等可能的，那么正方形面积在 平方尺之间的概率为 ：
选择对“长度”还是对“面积”运用不充分理由原则，同一个问题会得到了不同的概率：
那么哪个是对的？
3.1 反思
19世纪不少人相信只要找到适当的等概率，就可以得到问题的唯一解。直到贝特朗悖论出现，人们才开始反思古典概率中的不合理之处：“等概率”的描述实在是太模糊了，存在歧义。
在后来数学家的不断努力中，概率论变得越来越严谨，大学中学习的公理化的现代概率论就是集大成者。
下面用现代的概率论重新来审视贝特朗悖论，你会发现其实根本没有矛盾之处。
3.2 重解贝特朗悖论
问：有一家锯木厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在 尺之间随机浮动：
也就是说木方的边长是一个随机变量 ，符合均匀分布（均匀分布就是等概率的意思）：
那么：
（1）该锯木厂生产出来的正方形边长在 尺之间的概率为多少（其中 ）？
（2）它的面积 又符合什么分布呢？
解：（1）记 的累积分布函数为 ，其概率密度函数为 ，因为 ，所以：
那么要求的正方形边长在 尺之间的概率为：
（2）假设 的累积分布函数为 ，其概率密度函数为 。先来求 ：
将 对 求导就得到了概率密度函数，也就是得到了 的分布：
（1）（2）两个问题回答下来，可见边长符合均匀分布时，面积并不符合均匀分布。
贝特朗悖论产生的原因在于，古典概率中的“等概率”非常模糊：
边长的分布是未知的，所以是等概率的
面积的分布是未知的，所以是等概率的
进而导出了矛盾。现代概率论通过分布来描述边长的随机性后，这种模糊性消失了，贝特朗悖论中的矛盾也就不存在的。
同学们还可以试试假设面积符合均匀分布，试求一下边长符合什么分布。
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