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建矩阵力学奠基新量子论 不确定原理颠覆经典概念|赛先生

“大师之师”索末菲是旧量子论的最后守卫者,他在慕尼黑大学的“理论物理摇篮”,却摇出了海森堡这位新量子论的开拓人,这就是科学的承前启后,继往开来!从此以后,新量子论,也就是我们现在称为“量子力学”的理论,迅猛发展起来。

撰文 | 张天蓉

1900年,量子鼻祖普朗克在柏林科学院第一次报告他解决了黑体辐射问题,释放出h这个量子妖精,从此开启了量子的大门。就在第二年,距离柏林500公里左右的另一个德国城市维尔茨堡,希腊语言学家奥古斯都·海森堡,迎来了他的第二个儿子,取名维尔纳·海森堡(Werner Heisenberg,1901年-1976年)。这位语言学教授怎么也没想到,这个出生时看起来极普通的男孩,20多年后闯荡量子江湖,成就了一番大事业,还荣获了1932年的诺贝尔物理奖!

受学于三位量子巨匠

维尔纳·海森堡9岁时,全家人搬到了慕尼黑居住。又过了9年,海森堡进入慕尼黑大学攻读物理,拜于上一节中介绍的“大师之师”索末菲门下。后来,海森堡前往哥廷根大学,在玻恩和希尔伯特的指导下学习物理。1923年,海森堡完成博士论文《关于流体流动的稳定和湍流》,获得博士学位后,便被玻恩私人出资聘请为哥廷根大学的助教。

虽然海森堡跟着索末菲做的博士论文是关于湍流的,但他在当时碰到了一些困难,再加上不喜欢也不擅长做物理实验,因此,海森堡在博士答辩时,还被大牌教授威廉·维恩非难而得了一个很低的分数。此是后话,在此不表。

海森堡真正感兴趣的是当时物理界的热门课题:玻尔的原子模型。海森堡自己也曾经表示过,他真正的科学生涯,是从与玻尔的一次散步开始的……

那是1922年初夏,玻尔应邀到德国哥廷根大学讲学,滞留10天,报告七次,内容为玻尔原子理论和对元素周期表的诠释。尽管玻尔平时说话的声音低沉,有时还给人以不善言辞的负面印象,但这几次演讲异常地成功,盛况空前,座无虚席。特别是众多年轻的学子们,激情满怀,反应强烈,一个个竖起耳朵张着嘴,聚精会神地听,生怕遗漏了大师的某句话、某个词。有人称这几次讲座是“玻尔的节日演出”,还有人形容当时的盛况“犹如举办了一次哥廷根狂欢节!”

索末菲教授带着他的两个得意门生:亲如兄弟的海森堡和泡利,从慕尼黑赶到哥廷根来听玻尔演讲。海森堡在这里第一次遇到了玻尔。一次,他在玻尔结束演讲后提了一个颇为尖锐的问题,引起了玻尔对这个年轻人的注意,当天便邀他一块儿去郊外散步。

海森堡受宠若惊,在3小时的散步过程中,与玻尔的交谈使他受益匪浅,对他后来的研究方向产生了重大而持续的影响。

1924年至1927年间,海森堡得到洛克菲勒基金会的赞助,来到哥本哈根的理论物理研究所与玻尔一起工作。从此,海森堡置身于玻尔研究所那种激烈的学术争鸣氛围中,开始了卓有成效的学术研究工作。

总的来说,海森堡大学后的物理生涯十分幸运,短短几年中,他游走于三位量子巨匠之间:向索末菲学到了物理概念,向玻恩学到了数学技巧,而他自己最感兴趣也最看重的哲学思想,则来自于玻尔!

矩阵力学的诞生

科学研究总是需要有张有弛,有时候压力下出成果,有时候松弛状态下灵感如泉涌。这些并无定论,也许可以用“冰冻三尺,非一日之寒”来描述,时机成熟了便自然会“瓜熟蒂落”而已。

海森堡正在折腾玻尔和索末菲的原子模型时,花粉过敏症却来折腾他,使他的脸肿得像烤出来的大圆面包,以至于偶然撞见他的房东吓了一大跳,还以为是他和人打架而致。因此,海森堡不得不去到北海的赫尔格兰岛,休养一段时间。那个远离喧哗的小地方,倒是激发了海森堡非凡的科学灵感,他构想出了他对量子力学的最大突破——后来被称作“矩阵力学”的理论。

海森堡当时正在研究氢的光谱线实验结果与原子模型的关系。实验得到的是宏观物理世界中的可观测量,量子化之后的原子模型却是科学家脑袋中构想出来的东西。“可观测”还是“不可观测”,这在经典物理中可以说是个伪命题。人们对经典理论的认知是:物理量不都是可观测的吗?但在量子论适用的微观世界,这个问题从来就亦步亦趋地伴随着物理理论前行。微观现象难以直接观测,那么,如何来判断理论正确与否呢?

这实际上是玻尔的“对应原理”企图解决的问题。“对应原理”由玻尔正式提出,并在哲学的意义上推广到其它领域。但事实上,从普朗克开始,量子物理学家们就一直在潜意识中使用对应原理。对应原理的实质就是:在一定的极限条件下,量子物理应该趋近于经典物理。微观的不可观测量,与宏观的可观测量之间,应该有一个互相对应的关系。

海森堡认为,原子模型中电子的轨道(包括位置x(t)、动量p(t)等)是不可测量的量,而电子辐射形成的光谱(包括频率和强度)则是宏观可测的。是否可以从光谱得到的频率和强度这些可测量,倒推回去得到电子位置x(t)及动量p(t)的信息呢?也就是说,是否可以将轨道概念与光谱对应起来?

图1. 左图是玻尔轨道模型,右图是宏观可以测量的光谱频率和强度。原子轨道概念如何与经典观测量对应?

这儿就产生了一点问题。

首先,在轨道概念中,电子绕核作圆周运动,玻尔认为有多种可能的轨道,例如图1左图中的(1n、2n、3n……)。那么,没问题,可以将位置x(t)及动量p(t)表示成这些轨道的线性叠加,或者说,将它们作傅立叶变换。

第二步,我们再来考察右图中宏观可以测量的光谱频率和强度。光谱产生的原因是原子中电子在两个能级之间的跃迁,能级差决定了光谱的频率,跃迁的概率决定了谱线的强度。因此,频率和强度是由两个能级(n和m)决定的。每两个任意能级间都有可能产生跃迁,因此,n和m是两个独立的变量。

如何将轨道中的量(例如x(t))用n和m两个独立变量表示出来呢?这第三步难倒了海森堡:x(t)是一个变量n的函数,却要用两个变量n和m表示!海森堡也顾不了花粉热的纠缠,没日没夜地思考这个问题。

终于在一个夜晚,海森堡脑海中灵光一闪,想通了这个问题。有什么不好表示的?把它们两者之间的关系画成一个“表格”呀!海森堡大概规定了一下用这种表格进行计算的几条“原则”,然后,剩下就是一些繁杂的运算了。后来,海森堡在回忆这段心路历程时写道:

大约在晚上三点钟,计算的最终结果摆在我面前。起初我被深深震撼。我非常激动,无法入睡,所以我离开了屋子,等待在岩石顶上的日出。

计算结果非常好地解释了光谱实验结果(光谱线的强度和谱线分布),使得电子运动学与发射辐射特征之间具有了关联。但海森堡仍然希望对玻尔模型的轨道有个说法。

海森堡想,玻尔模型基于电子的不同轨道,但是,谁看过电子的轨道呢?也许轨道根本不存在,存在的只是对应于电子各种能量值的状态。对,没有轨道,只有量子态!量子态之间的跃迁,可以精确地描述实验观察到的光谱,还要轨道干什么?如果你一定要知道电子的位置x(t)及动量p(t),对不起,我只能对你说:它们是一些表格,无穷多个方格子组成的表格。

6月9日,海森堡返回哥廷根后,立即将结果寄给他的哥们儿泡利,并加上几句激动的评论:“一切对我来说仍然模糊不清,但似乎电子不再在轨道上运动了”。

1925年7月25日,《海德堡物理学报》收到了海森堡的论文。这天算是量子力学(新量子论)真正发明之日,距离普朗克旧量子论的诞生,已经过去了25年。

提出不确定性原理

海森堡将他的著名论文寄给杂志的同时,也寄了一份给玻恩,并评论说他写了一篇疯狂的论文,请玻恩阅读并提供建议。玻恩对海森堡论文中提出的计算方法感到十分惊讶,但随后他意识到这种方法与数学家很久以前发明的矩阵计算是完全对应的。海森堡的“表格”,就是矩阵!

玻恩与他的一个学生约尔丹一起,用矩阵语言重建了海森堡的结果。再后来,海森堡、玻恩、约尔丹又三人共同发表了一篇论文。最终,这“一人、二人、三人”三篇论文,为量子力学的第一种形式:矩阵力学,奠定了基础。这里边还有狄拉克的工作,暂且不表。

新量子论的发展还有另外一条线,完全独立于海森堡的矩阵力学。那是爱因斯坦注意到德布罗意的物质波理论之后,推荐给薛定谔引起的。薛定谔从波动的角度,用微分方程建立了量子力学。

微分方程是物理学家们喜欢的表述形式,牛顿力学、麦克斯韦方程都用它。薛定谔方程描述的波动图像也使物理学家们感觉亲切直观、赏心悦目。虽然物理学家后来因为不知如何诠释薛定谔方程而颇感困惑,但还是喜欢它。海森堡的矩阵则枯燥而且缺乏直观图景,不怎么受待见。

因此,薛定谔方程名噪一时,大家几乎忘掉了海森堡的矩阵。这使得年轻气盛,好胜心极强的海森堡很不以为然。即使薛定谔等人后来证明了,薛定谔方程与矩阵力学在数学上是完全等效的,海森堡仍然耿耿于怀。

天才终归是天才,不久后(1927年),海森堡便抛出了一个“不确定性原理”,震惊物理界。

如前所述,海森堡将原子中电子的位置x(t)及动量p(t)用“表格”,也就是矩阵来描述,但矩阵的乘法不同于一般两个“数”的乘法。具体来说,就是不对易:x(t)×p(t)不等于 p(t)×x(t),或者简单地写成:xp ≠ px。这种不相等的特性可以用它们的差表示出来,叫做对易关系:[x,p]=xp-px=iħ。

从对易关系再进一步,可以写成不等式的形式:ΔpΔx≥ħ/2。这被称为不确定性原理。

图2. 海森堡的不确定性原理

根据海森堡的不确定性原理,对于一个微观粒子,不可能同时精确地测量出其位置和动量。将一个值测量越精确,另一个的测量就会越粗略。如图2a所示,如果位置被测量的精确度是Δx,动量被测量的精确度是Δp的话,两个精确度之乘积将不会小于ħ/2,即:ΔpΔx≥ħ/2,这里的ħ是约化普朗克常数(h/2π)。

精确度是什么意思?精确度越小,表明测量越精确。如果Δx等于0,说明位置测量是百分之百地准确。但是因为不确定原理,Δp就会变成无穷大,也就是说,测定的动量将在无穷大范围内变化,亦即完全不能被确定。

海森堡讨厌波动力学,但也想要给自己的理论配上一幅直观的图象,他用了一个直观的例子来解释不确定性原理,以回应薛定谔的波动力学。

如何测量粒子的位置?我们需要一定的实验手段,比如说,可以借助于光波。如果要想准确地测量粒子的位置,必须使用波长更短、频率更高的光波。在图2b中,画出了用两种不同频率的光波测量粒子位置的示意图。上面的图中使用波长比较长的光波,几乎探测不到粒子的存在,只有光波的波长可以与粒子的大小相比较(如图2b的下图所示)的时候,才能进行测量。光的波长越短,便可以将粒子的位置测量得越准确。于是,海森堡认为,要想精确测量粒子的位置,必须提高光的频率,也就是增加光子的能量,这个能量将作用在被测量的粒子上,使其动量发生了一个巨大的改变,因而不可能同时准确地测量粒子的动量,见图2c。

如上所述的当时海森堡对不确定原理的解释,是基于测量的准确度,似乎是因为测量干预了系统而造成两者不能同时被精确测量。后来,大多数的物理学家对此持有不同的看法,认为不确定性原理是类波系统的内秉性质,微观粒子的不确定原理,是由其波粒二象性决定的,与测量具体过程无关。

事实上,从现代数学的观念,位置与动量之间存在不确定原理,是因为它们是一对共轭对偶变量,在位置空间和动量空间,动量与位置分别是彼此的傅立叶变换。因此,除了位置和动量之外,不确定关系也存在于其他成对的共轭对偶变量之间。比如说,能量和时间、角动量和角度之间,都存在类似的关系。

海森堡与玻尔

图3. 海森堡与玻尔

海森堡对量子力学的贡献是毋庸置疑的,但他在第二次世界大战中的政治态度却不很清楚。海森堡曾经是纳粹德国核武器研究的领导人,但德国核武器研制多年未成正果。这固然是战争正义一方的幸运之事,但海森堡在其中到底起了何种作用?至今仍是一个难以确定的谜。海森堡在大战中的“不确定”角色引人深思:科学家应该如何处理与政治的关系?如何在动乱中保持一位科学家的良知?

海森堡与玻尔,有长期学术上的合作,有亦师亦友的情谊,从海森堡22岁获得博士学位后第一次到哥本哈根演讲,玻尔就看上了这个年轻人。无情的战争,将科学家之间的友谊蒙上了一层淡淡的阴影。在战争期间(1941年),海森堡曾到哥本哈根访问玻尔,据说因为二人站在不同的立场,因而话不投机,不欢而散。

这个结果是符合情理的,因为当时玻尔所在的丹麦被德国占领,玻尔与海森堡已有两年多未见面,玻尔对他有戒心,怀疑他是作为德方的代表而出现。但到底谈话中说了些什么,人们就只能靠猜测了。有人说海森堡是想要向玻尔探听盟军研制核武器的情况,有人说海森堡企图说服玻尔,向玻尔表明德国最后一定会胜利。

二战结束后,海森堡作为囚犯,被美国军队送到英国,1946年重返德国,重建哥廷根大学物理研究所。1955年,该研究所与作为研究所主任的海森堡,一起迁往慕尼黑,后来改名为现在的马克斯-普朗克天体物理学研究所。

海森堡之后一直居住在慕尼黑,1976年2月1日因癌症于家中逝世。

小赛有话说:

关于1941年海森堡和玻尔的那次谈话,英国当代著名剧作家及小说家迈克尔·弗莱恩写作了戏剧《哥本哈根》,通过对话和追忆的表现方式,探讨了这次会面的多种可能性。剧本和视频大家可以自行搜索〜

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