什么是证明？ 哲学家已经争论近一个世纪之久。如何去证明？无可置疑的是他们会继续质疑下去。另一方面，数学家很久以来也使用证明的运用来提高数学认知。
在这个问题的开始，想要先来看一系列文章来介绍一些证明背后的基本思想和逻辑推理，看现实中证明在数学中的重要性。
在这篇文章当中，我们必须先简单介绍演绎推理，再来看一下一些早期的数学证明的例子。
假设一些事实或者前提是正确的。演绎推理是拓展一系列事实很重要的一个方法。在演绎推理中，我们假设一些前提是已知条件P，然后得到一个结论C。例如，假设前提：
P：所有的人都是凡人。
P：苏格拉底是一个人。
得出结论
C：苏格拉底是凡人。
这就是演绎推理。 在这种情况下，演绎步骤是基于逻辑原理，如果A预示着B，A是真的，那么B是真的 ，这是一个中世纪逻辑学家称为 modus ponens（模态的原则）。
当然，演绎推理不是绝对可靠的：前提可能不是真的，或者推理本身是错误的！这时候你“证明”的东西，实际上不是真的。 比如说“证明”1 = 2的方式。 这里是一个老话题：
假如a=b，
因此，
a2=ab
a2+a2=a2+ab
2a2-2ab=a2+ab-2ab
2a2-2ab=a2-ab
提取括号：
2（a2-ab）=1（a2-ab）
两边除以 a2-ab，我们因此可以得到：
2=1
你能看出这个证明过程中的错误吗？
现在，假设这个结论不是从前提推理来的，那么这个证明被称为无效。无论前提是否正确。
如果论证是有效的，但前提不是真的，那么同样结论可能是真的，也可能不是真的，但是论证不能帮助我们决定这一点。
思考题：你能找到上图的问题吗？
如果证明是有效的，并且前提是正确的，这个证明才是合理的。从实际的角度来看，如果我们能找到一个合理的论据，我们可以说是证明了一些东西。
表1总结了这些不同类型的演绎推理证明情况，表2提供了每种情况的示例。
正如表2中的两个无效论证所表明的，无效证明的结论不一定是假的 - 它只是在特定的论证中没有被正确的证明。
开始于：欧几里得几何
欧几里得诞生于公元前365年在埃及亚历山大。并在公元前300年去世。 很少知道他的生活，除了他在亚历山大教数学。Euclid写了一些论文，但最有名的是他的Elements ，已经被用做几何教科书超过2000年！ Elements代表了数学史上证明的最早使用之一。
在他的Elements中 ，Euclid列出了二十三个定义，描述点，线，平面，圆，钝角和锐角等。Euclid的定义既不是真的也不是假的：它们只是作为一种字典，解释他将使用的各种术语的含义。
然后他提出一组十个假设。其中五个不是几何特有的，他称之为常见的概念 ：
1. 等量间彼此相等
2. 等量加等量和相等
3. 等量减等量差相等
4. 完全重合的东西是相等的
5. 整体大于部分
其他五个假设是几何的，他称之为公设 ：
1. 任意两个点可以通过一条直线连接。
2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4. 所有直角都全等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
这些共同的公理和公设代表欧几里德几何的公理。 公理是一个逻辑原则，它被认为是真实的而不是被证实的，并且可以在演绎论证中被用作前提。
欧几里德的公理集或公理系统代表了“第一原则”的集合，从中可以使用演绎推理来产生其他原则。 当然，任何演绎论据只有在Euclid的常见概念和公设真的是真实的时候才是正确的！
命题证明的一个例子
Euclid在他的Elements中展示了各种几何命题，并且在他的公理系统中使用演绎推理表明它们是真实的。
一个例子是命题6：“如果在三角形中两个角度彼此相等，相等的角所对应的边也相等。
Euclid的这个命题的实际论证如下：
上图：欧几里德的命题6。
△ABC， 假设∠ABC=∠ACB，证明AB等于边AC。
证明： 若AB≠AC, 不妨设 AB＞AC
在AB 上截取一段BD 等于较小的AC,
链接DC,
由 DB=AC, BC=CB, ∠DBC=∠ACB
可知 △DBC等于△ACB,
即部分等于整体，矛盾。
因此AB等于AC。（反证法）
欧几里得的命题是正确的吗
欧几里德时代的希腊人和后来的阿拉伯数学家都有一个直觉，第五个公设实际上可以使用常见的概念和前四个公设来证明。
事实上，第五个公设不是从其他公设和概念推导出来的，也不是普遍真实的。 数学家对数世纪以来的第五个公设继续着迷，但直到十九世纪和二十世纪（通过许多着名数学家的努力，包括Legendre ， Gauss ， Bolyai ， Lobachevsky ， Riemann ， Beltrami和Klein ），我们了解了非欧几何之后，知道第五个公设不是真的。
第五个假设可以在平面 （或欧几里德 ）几何中显示为真。 然而，有许多其他几何，它是不是真的。 令人惊讶的是，这很容易说明！ 考虑球体表面的简单情况。芽编有在前面的罗氏几何和黎曼几何中解释过。
第五个公设的失败的后果之一是，三角形的角度之和总是180度不再是真的。
思考题：事实上，有一个著名的横向思维谜语，隐含地依赖于非欧几里德几何：
一天早晨猎人离开他的房子，向南走一英里。 然后向西走了一英里，打了一头熊，然后向北走了一英里，然后回来他的房子。问熊的颜色？
欧式几何，还有后来非欧几何的发现，表明了使用公理作为证明基础进行演绎推理的优势和缺陷。
使用欧几里得的定义，常见概念和公设作为推理基础，能够产生一些重要的几何命题的演绎证明。 他的公理和证明是许多后来几代数学家的有用的工具集，并显示演绎推理是如何的强大和有用。
然而，发现非欧几里得几何的漫长和痛苦的过程已经显示了在公理系统中演绎推理的局限性。在欧几里得平面中，欧几里德的第五个公设是真实的，他的有效证明是正确的。 然而，在非欧几里德几何形状（例如球体的表面）中，第五个公设不是真的，因此欧几里德的证明是不健全的。
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