我坦率承认，我从未对物理或几何的学习或研究抱有兴趣，除非能通过它们获得有助于目前需要的某种知识……能服务于生活的幸福与方便，能有助于保持健康，有助于施展某种技艺……我看到好大一部分技艺扎根于几何，如建筑上的采石工艺，制作日规，特别是透视法。——德萨格
一、几何的重生
几何上重要创作活动的复兴晚于代数。从帕普斯时代起到1600年，除了创立透视法的数学体系以及文艺复兴时代艺术家偶尔作出的几何研究之外，几何方面很少有成果的工作。阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》的许多印刷版本的出现，引起了人们对几何的一些兴趣。
要使数学家的心思纳入新的轨道，所需要的而且确实出现的是新的问题。有一个问题是早已被艾伯蒂提出的：一个实物的同一投影的两个截景有什么共同的几何性质？开普勒在他1609年的著作中对圆锥曲线的应用，有力地推动人们去重新考察这些曲线，并寻求其对天文有用的性质。17世纪初发明了望远镜和显微镜之后，光学受到人们大为增加的重视。给这些仪器设计透镜成了一件大事，这意味着人们要注意研究曲面，而因为透镜的表面都是旋转面，因而又要注重研究母曲线。地理探索产生了对地图的需要，引起人们研究在球面上和地图上表示的航行路线。产生了地球在转动的思想之后，需要新的力学原理来计算运动物体的路径，这就又需要研究曲线。因为人们已能用大炮把炮弹射到几百码的距离之外，预先算好弹道和射程就成为极端重要的事。开普勒的《测量酒桶体积的新科学》（Nova Stereometria Doliorum Vinariorum，1615）掀起了计算面积和体积的新的研究工作。
数学家开始感到希腊人的证明方法缺乏一般性，几乎每个定理都要想出一种特殊的方法来证。指出这一点的是早在1527年的阿格里帕·冯·内特海姆（Agrippa von Nettesheim，1486—1532）和莫鲁里克斯。
对新问题的大部分反应引起了对旧课题的小变动。人们一开头就把圆锥曲线定义为平面上的轨迹，而不再像阿波罗尼斯那样定义为圆锥面的截线了。例如，蒙特在1579年把椭圆定义为与两焦点距离之和为常数的动点的轨迹。其它古希腊人研究过的许多曲线如尼科梅德斯蚌线、狄奥克莱斯蔓叶线、阿基米德螺线和希皮亚斯割圆曲线都被重新研究。一些新的曲线也研究出来了，著名的如旋轮线（即摆线）。所有这种工作虽都有助于传播希腊人的学术成就，但都没有提出什么新的定理或新的证明方法。第一项有成就的创新工作是由于回答画家提出的问题而产生的。
二、透视法工作中所提出的问题
画家们搞出来的聚焦透视法体系，基本思想是投影和截面取景原理。现设人眼在O处观察水平面上的一个矩形ABCD。从O到矩形四边上各点的连线便形成一投射棱锥，其中OA、OB、OC及OD是四根典型直线。若在人眼和矩形间插入一平面，则投射锥上诸直线将穿过那个平面，并在其上勾画出四边形A'B'C'D'。截景和原矩形有什么共同的几何性质？原形和截景既不重合又非相似，它们也不会有相同的面积，事实上截景未必是个矩形。
这问题的一个推广是：设有两个不同的平面以任意角度与这同一个投射锥相截得到两个不同的截景，它们有什么共同的性质？这问题还可进一步推广。设矩形ABCD是从两个不同的点O'和O'来观察，于是就有两个投射锥。若在每个投射锥里各取一截景，则由于每一截景应与矩形有某些共同的几何性质，两截景也应有某些共同的几何性质。
17世纪的一些几何学者开始找这些问题的答案。这些方法和结果是几何一个新分支的开端，这个分支到了19世纪被人称为射影几何。
二、笛沙格的工作
直接寻找上述问题答案的第一个人是自学成名的笛沙格（1591—1661）。他先是陆军军官，其后成为一个工程师和建筑师。笛沙格通晓阿波罗尼奥斯的著作，并觉得他能发明新方法来证圆锥曲线的定理。他确实这样做了，并且充分认识到他这些方法的功效。他的头一步工作是汇集许多有用的定理，起初是通过书信和传单传播他获得的成果。他还在巴黎免费给人讲课。后来他写了几本书，其中一本是教儿童学唱的书，另一本讲几何在泥瓦工和石工方面的应用。
他的主要著作是《试论锥面截一平面所得结果的初稿》（Brouillon project d'une atteinte aux événemens desrencontresdu cône avec un plan，1639）。在这书之前他于1636年出版了关于透视法的一本小册子。在这部主要著作中，他论述了现今所谓的几何中的射影法。
1845年沙勒（MichelChasles）偶然发现了拉伊尔（Philippe de La Hire）手抄的复本，由波德拉（N. G. Poudra）加以复制，并由他在1864年编辑了笛沙格的著作。1950年左右穆瓦齐（Pierre Moisy）在巴黎国立图书馆里发现了一本1639年的原版本并复制发行。这新发现的版本中包含了重要的附录和笛沙格所作的订正。笛沙格关于三角形的主要定理和其他一些定理则于1648年发表在他朋友博斯（Abraham Bosse，1602—1676）所著的一本关于透视法的书的附录中。博斯在他的这本《运用笛沙格透视法的一般讲解》（Manière universelle de M. Desargues, pour pratiquer la perspective）中打算用通俗方式讲解笛沙格的一些实用方法。
笛沙格用了一些奇怪的术语，使他的书难于阅读。除了他的朋友梅森、笛卡尔、帕斯卡和费马外，他的同时代人都称他为怪人。笛卡尔知道了笛沙格工作的细节之后，对之高度推崇。费马认为笛沙格是圆锥曲线理论的真正奠基者，并且觉得他写的书思想丰富。但由于一般人未能欣赏，使笛沙格灰心丧气，退休回到老家。
艾伯蒂指出，在作画的实际图景里，画面上的平行线（除非它们平行于玻璃屏板或画面）必须画成相交于某一点。例如下图中的直线A'B'及C'D'相交于O'。这点O'并不对应于AB或CD上的任何普通的点，叫做没影点，而A'B'或C'D'上任何其他的点都分别对应于AB或CD上某个确定的点。
笛沙格在AB上以及CD上引入一个新的点，叫做无穷远点，把它看成两平行线的公共点。平行于AB或CD的任何直线上都有这同一个点，并且都在该处与AB或CD相交。方向不同于AB或CD的任何一组平行线都同样有一个公共的无穷远点。由于平行线组的数目是无穷的，笛沙格的规定就是在欧几里得平面上引入了无穷多新的点。他进一步假定所有这些点都在同一直线上，而这直线对应于截景上的水平线或没影直线。这样就在欧几里得平面的已有直线中添入了一根新的直线。他假定一组平行平面上都有一根公共的无穷远线；就是说，所有平行平面都相交于一直线。
平行线相交于每根线上的无穷远点，这一规定是欧几里得几何里一件方便的事，因它避免了特殊情形。现在就可以说任何两直线必然恰交于一点。
开普勒也（在1604年）决定给平行线增添一个无穷远点，但出于不同的理由。如下图，对于通过P而交于l的每根直线，有l上的一点Q与之对应。但对于过P而平行于l的直线PR，却没有l上的点同它对应。但若增添PR及l共有的一个无穷远点，开普勒便可断言通过P的每根直线都交于l。又，在Q往右移向无穷远而PQ变为PR后，可把PR与l的交点看成P左边的一个无穷远点，而当PR继续绕P旋转时，PR与l的交点Q'就从左边移近。开普勒（以及笛沙格）认为直线的两端是在无穷远处会合的，因而认为直线和圆有同样的结构。事实上，开普勒确实把直线看作是圆心在无穷远处的圆。
引入了无穷远点及无穷远线后，笛沙格就叙述了一个基本定理（笛沙格定理）：对于从一点透视出去的两个三角形，它们间成对的对应边AB与A'B'、BC与B'C'以及AC与A'C'（或它们的延长线）相交的三个交点在同一直线上。反之，若两三角形的三对对应边相交于一直线上的三点，则连接对应顶点的三根连线必交于一点。在下图中，这定理告诉我们，P、Q与R在一直线上。
笛沙格对二维和三维两种情形都证明了正定理和逆定理。
在博斯的1648年著作的附录里记有笛沙格的另一基本结论：交比在投影下的不变性。一直线上四点形成的诸线段的交比定义为(BA /BC) / (DA /DC)。帕普斯早就引入过这个比，并证明了在AD及A'D'上的交比是一样的。梅涅劳斯也有一个关于球面上大圆弧的类似定理。但他们都不是从投射锥和截景的观点来考虑的。而笛沙格则是这样考虑的，并且证明了投射线的每个截线上的交比都相等。
德萨格在他的主要著作（1639）里处理了对合的概念，这是帕普斯早就引入而由笛沙格定名的。直线上若干对点A、B，A'、B'，以及A'、B'等说是对合的，如果该直线上有一特定点O（名叫对合中心），使OA * OB = OA' * OB'= OA' * OB'等。点A和B，A'和B'，以及A'和B'叫做共轭点。若有一点E使OA * OB = OE²，则E叫做二重点。还有另一个二重点F，而O是EF的中点。O的共轭点是无穷远点。笛沙格在一根与三角形三边相交的直线上应用梅涅劳斯定理，证明在A、B、A'及B'有对合关系时，若从点P把它们投射到另一直线上，成为点A1、B1、A1'及B1'，则这第二组点也是对合的。
关于对合关系，笛沙格证明了一个主要定理。设B、C、D及E是平面上任意四点，其中没有任何三点是共线的，四点就确定了六根直线，形成完全四边形的各边。对边是彼此不相交于四点之一的两边，包括两条对角线。三对对边的交点O、F与A是四边形的对边点。今设四个顶点B、C、D、E在一圆上，如果一直线PM交各组对边于P、Q、I、K以及G、H，交圆于L、M，那么这四组点是四组对合的点。
另外，设在图形平面外一点作投射，原图里的圆就变成截景里的一个圆锥曲线，原图里的每根直线变成截景里的某根直线；特别是圆内接四边形就变成圆锥曲线内接四边形。由于对合关系在投影后还是对合关系，故得出一个重要而普遍的结论：若作一圆锥曲线的内接四边形，则任一不过顶点的直线与圆锥曲线以及与完全四边形对边相交的四对点有对合关系。
笛沙格其次引入了调和点组（也称“调和点列”）的概念。点A、B、E及F说是一调和点组，如果相对于对合关系中的二重点E和F来说，A与B是共轭点。（现今定义交比等于-1的点组为调和点组，那是以后的说法。）由于对合关系经投射后仍为对合关系，故调和点组经投射后仍为调和点组。接着笛沙格又证明若调和点组中的一点是无穷远点，则与之相配的另一点平分其他两点间的线段。又，若A、B、A'及B'是调和点组（下图），从O作投射，则当OA'垂直于OB'时，OA'平分AOB角，而OB'平分它的补角。
有了调和点组的概念之后，笛沙格进而阐释极点与极线的理论。如下图，从圆外一点A出发交圆于C及D的任一直线上，必有第四个调和点B。所有的第四调和点都位于一直线上，这直线BB'就是点A的极线。圆内接完全四边形CDD'C'以A为一个对边点，则A的极线将通过这完全四边形的另外两个对边点（R是其中一个）。当A在圆内时，同样的断言也成立。若A在圆外，则A的极线是从A所引圆的两根切线的切点P、Q的连线。
对于圆证明了上述断言之后，笛沙格又用从图形平面外一点所作的投射及其一个截景来证明这些断言对任何圆锥曲线都成立。
笛沙格把圆锥曲线的直径看作无穷远点的极线。设有一组平行线与圆锥曲线相交，若A'B'是其中一直线，则A'B'上关于A'及B'而言的无穷远点的调和共轭点是弦A'B'的中点B。平行弦族的这些中点位于一根直线上，而这直线按阿波罗尼奥斯的定义也是直径。
德萨格不仅引入了无穷远元素等新的概念以及许多新的定理，尤其重要的是他引入了以投射和截景作为一种新的证明方法，而且通过投射和截景统一处理了几种不同类型的圆锥曲线，而阿波罗尼奥斯则是把每类圆锥曲线分别处理的。在这一个天才辈出的世纪里，笛沙格是最有独创精神的数学家之一。
四、帕斯卡和拉伊尔的工作
对射影几何作出贡献的第二个主要人物是帕斯卡（1623—1662）。他生于法国克莱蒙（Clermont），从小多病，并在其短暂的一生中身体一直不好。在帕斯卡8岁时，他家迁到巴黎。早在孩提时，他就同他父亲参加每周一次的“梅森学院”（其后变为自由学院，并于1666年变为科学院）的例会。当时会员中有梅森神甫、笛沙格、罗贝瓦尔（法兰西学院数学教授）、米道奇（Claude Mydorge，1585—1647）和费马。
帕斯卡把相当多的时间和精力用于研究射影几何。他是微积分的创始人之一，并在这方面对莱布尼茨有所影响。他也参与了开创概率论的工作。他在19岁的时候发明了第一架计算机，以帮助他父亲干课税员的工作。他在物理上也有些贡献，如独创一种抽真空的器械，发现空气重量随高度的增加而递减，阐明液体中的压力概念。
帕斯卡是法文散文大师，他的《思想录Pensées》和《致外省人书Lettres provinciales》是经典文学作品。他也是出名的哲学辩论家。他从童年时期起便想把宗教信仰和数学及科学的理性主义调和起来，而在这两方面的兴趣在他一生中都分去了他的精力和时间。他也和笛卡尔一样，相信科学真理必须清楚而分明地符合感性认识或符合理智，或者是这类真理的逻辑推论。他认为在科学和数学问题上不该有故弄玄虚之处。“凡有关信仰之事不能为理智所考虑。”在科学问题上只牵涉我们的自然思维，权威是无用的，科学知识只能建立在理智的基础上。但信仰的奥秘是感觉和理性所不能察知的，所以必须凭圣经的权威加以接受。他谴责那些在科学上滥用权威以及在神学上使用理智的人。然而信仰的境界比理智更高出一层。
宗教在他24岁以后主宰了他的思想，虽然他仍继续从事数学和科学工作。他认为单纯作为一种乐趣来从事科学工作是错误的。以乐趣为主要目的而搞研究是糟蹋了研究，因那样的人怀有“一种对学问的贪欲之心，对知识的无厌嗜求……这种对科学的钻研首先出于以自我为中心的关怀，而不是着眼于在周围一切自然现象中找出神的存在和荣耀”。
他的数学工作主要是凭直观的，他预告了重大的结果，作出了高明的猜测，看出了推理和运算的捷径。在他生命的后期，他把一切真理之源归之于直观。“心有其理，非理之所能知。”“未谙真理者，才发现需用理智这种迟缓迂回的方法。”“孱弱无能的理智啊，你该有自知之明。”
1660年8月10日帕斯卡去世前不久给费马的一封信中写道：“随便谈到数学，我觉得它是对精神的最高锻炼；但同时我又觉得它是那么无用，以致使我觉得一个单纯的数学家同一个普通工匠极少差别。我也觉得它是世界上最可爱的职业，然而仅仅是一种职业；我也常说想[学数学]是件好事，但为此费力则不然。所以我不愿为数学而多走两步，而我想你也会深有同感。”帕斯卡是个多才多艺然而性格矛盾的人。
笛沙格敦促帕斯卡研究投射和取截景法，并建议他要把圆锥曲线的许多性质简化为少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。1639年他16岁时就用投射法写了关于圆锥曲线的著作。这本著作现已失传，但莱布尼茨确于1675年在巴黎见过，并对帕斯卡的侄甥谈过这作品的内容。有一篇长约8页的《略论圆锥曲线》（Essays on Conics，1640）当时只有少数人知道，旋即失传，直到1779年才重新发现。笛卡尔曾见过1640年的这篇短文，觉得如此出色，竟然不相信它是一个这样年轻的人写的。
帕斯卡在射影几何里的一个最著名的结果是现今以他的名字命名的定理。若一六边形内接于一圆锥曲线，则每两条对边相交而得的三点在同一直线上。
通过投射和取截景，它必对所有圆锥曲线都成立。关于两直线的每根线上有三点的那个帕普斯定理也是上述定理的一个特例。当圆锥曲线退化为两条直线（例如当双曲线退化为它的渐近线时），就得出帕普斯定理。
帕斯卡定理的逆定理（即若一六边形的三对对边的三个交点共线，则六边形顶点在一圆锥曲线上）也是成立的，但帕斯卡并没有加以考虑。
投射和取截景法也为拉伊尔（1640—1718）所接受。拉伊尔年轻时是个画家，以后转而研究数学和天文。拉伊尔也同帕斯卡一样受了笛沙格的影响，并在圆锥曲线方面做了相当多的工作。有些结果发表在1673年和1679年的论文中，是按希腊人的综合方法但采用了新的观点，例如以焦点—距离来定义椭圆及双曲线，有些结果应用了笛卡尔和费马的解析几何。他的最大著作是《圆锥曲线》（Sectiones Conicae，1685），这是专门研究射影几何的。
他先证明了牵涉到调和点组的圆的性质，然后通过投射和取截景推广到任一类圆锥曲线。在这部著作中，虽然漏掉了一些材料，如笛沙格的对合定理和帕斯卡定理，但几乎包括了现今关于圆锥曲线的所有熟知的性质，并且都用综合方法证明，作出了有系统的陈述。拉伊尔几乎全部证明了阿波罗尼奥斯的364个关于圆锥曲线的定理。书中也有关于四边形的调和性质。他打算以此表明投射法比阿波罗尼奥斯的方法高明，也比当时已经创立的笛卡尔和费马的新的解析方法优越。
总的说来，拉伊尔所得结果并未超出笛沙格的和帕斯卡的。但在极点和极线理论上他有一个重大的新结果。他证得：若一点在直线上移动，则该点的极线将绕那直线的极点转动。例如，若Q（下图）沿直线p移动，则Q的极线绕直线p的极点P转动。
五、新原理的出现
在笛沙格、帕斯卡和拉伊尔这些人得出的一些特殊定理之外和之上，当时开始出现一些新的思想和观点。第一个是关于一个数学对象从一个形状连续变到另一形状的思想，这里的数学对象就是几何图形。从开普勒1604年的《天文学的光学部分》（Astronomiaepars Optica）里，可以看出他似乎是第一个掌握了这一事实的人：抛物线、椭圆、双曲线、圆、由两直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中之一连续变为另一个。开普勒设想一个焦点固定而让另一个焦点在它们的连线上移动。若让动点移向无穷远（同时让偏心率趋于1），椭圆就成为抛物线；然后让那个动焦点又出现在定焦点的另一方，这时抛物线就变成双曲线。当两焦点合而为一，椭圆变成圆；当双曲线的两焦点合在一起，双曲线便退化为两直线。要使一焦点从一个方向移往无穷远而又从另一个方向重新出现，开普勒就假定了直线向两端无限延伸之点在无穷远处合成一点，从而赋予直线以圆的性质。虽然在直观上这样看待直线并不令人满意，但这种思想在逻辑上是合理的，而且事实上在19世纪的射影几何里成为一个基本定理。开普勒又指出，若连续改变那个截割圆锥的平面的倾角，便可得各种不同的圆锥曲线。
帕斯卡也应用了图形连续变化的观点。他让六边形的两相邻顶点彼此靠近合而为一，使之变成一五边形。然后他考察六边形的性质在图形连续变化时出现什么情况，来推断出五边形的性质。同样，他从五边形变到四边形。
从射影几何研究工作中明显出现的第二个思想是变换和不变性。从某点作一图形的投射，然后取其截景，就是把原图形变换成一个新图形。原图形中值得研究的性质是那些在变换后保持不变的性质。17世纪的其他一些数学家如圣文森特的格雷戈里（Gregory of St. Vincent，1584—1667）和牛顿还引入了投射取截法之外的其他变换。
射影几何学家也着手进行代数学家（特别是韦达）所开创的寻求一般方法的研究。在希腊时代，证明方法的功效是有限的。每个定理都需要新的一种办法。欧几里得和阿波罗尼奥斯似都不关心找一般方法。但笛沙格却强调投射取截法，因他看出凡是对圆证明了的性质，都可拿它作为一般方法来证明它们对圆锥曲线也成立。他又从对合与调和点组的概念，看到有比欧几里得几何里更一般性的概念。事实上，四个形成调和组的点，若其中之一在无穷远处，就变成三个点，其中一点在另外两点连线的中点处。于是调和点组的概念及有关的定理比一点平分一线段的概念更一般。笛沙格和帕斯卡想从单独一个定理推出尽可能多的结果来。博斯说笛沙格从他的对合定理推出了阿波罗尼奥斯的60个定理，受到帕斯卡的称颂。
帕斯卡通过寻求不同图形之间的关系也想找出处理这些图形的共同原理。据说帕斯卡从他关于六边形的定理得出了约400个系，但现在找不到他在这方面的著作了。注重方法的精神在拉伊尔1685年的著作中是很明显的，因它的主要目标是显示投射取截法比阿波罗尼奥斯的方法、甚至比笛卡尔的代数方法优越。追求结果与方法的一般性，在其后的数学工作中成为一股强大的力量。
几何学家无意中又发掘出另一类一般性。许多定理，如笛沙格的三角形定理，处理的是点和线的相交问题，而不是像欧几里得几何里处理的线段、角度和面积的大小问题。线的相交这一事实在逻辑上应先于考虑量的大小，因为正是相交这样的事实才确定了一个图形的组成。几何的一个新的基本的分支诞生了，它着重位置和相交方面的性质，而不是大小和度量方面的性质。
虽然射影几何方面的工作起初是为了想给画家提供帮助而研究的，但后来就分散到圆锥曲线方面并与之合流，因那时对圆锥曲线的兴趣又高涨起来了。不过纯粹数学并不迎合17世纪的时尚，那时的数学家对理解自然和控制自然的问题——简言之就是对科学问题——远比这个来得关心。用代数方法处理数学问题一般更为有效，特别是易于得出科技所需要的数量结果。而射影几何学家用综合方法得出的定性结果并不那样有用。因此射影几何就让位给代数、解析几何、微积分，而这些学科又进一步产生出在近代数学中占中心地位的其他学科。笛沙格、帕斯卡和拉伊尔得出的结果被人遗忘了，直到19世纪才又重新被人发现，而那时候新获得的结果和新观点使数学家能培育出潜伏在射影几何里的重要思想。
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