——关于力矩、电矩、磁矩、角动量概念之分析
司 今
（广州毅昌科技研究院 .广州 510663 E-mail:jiewaimuyu@126.com）
摘 要 ：物质自旋或旋转运动都离不开力矩概念，本文从力矩概念出发，依据力产生的形式不同来分析电矩、线圈磁矩、线圈内粒子磁矩，量子力学磁矩、角动量等概念与力矩概念的异同。通过分析得出：力矩、电矩、磁矩在数学表达形式上虽相同，但本质涵义不同，并给出力矩、电矩、磁矩、角动量之间的数学关系式：L=dJ/dt=F.r=B(外).p(自).r，从而理清了量子力学轨道磁矩真正的物理作用和含义。
关键词：质量、电荷、磁荷、力矩、电矩、磁矩、角动量、洛伦兹运动
中图分类号： 0441 文献标识码：A
0 、引言
物体自旋或旋转运动的描述都离不开力矩概念，由力矩概念出发，依据力产生的形式不同，在经典电磁学中才延伸出电矩、磁矩等概念。
通电线圈在磁场中受力矩作用
电磁学中的磁矩是指平面载流线圈在均匀外磁场中所受合力为零而所受力矩不为零，该力矩使线圈磁矩m（m=iSn）方向转向外磁场B的方向。
行星绕太阳椭圆运动的角动量守恒
经典力学告诉我们，在一个有心力场中，描述物体作曲线运动的物理量是角动量，如行星绕太阳运动，而且对它们的物理描述有二套定量法则：
（1）、开普勒三定律，其中角动量守恒最重要；
（2）、牛顿万有引力定律。
卢瑟福原子模型—“太阳-行星”模型
现代物理学关于原子构成模型是基于卢瑟福的“太阳行星模型”展开的，它对电子轨道角动量的描述却是通过引入轨道磁矩来实现的。这种描述的广泛意义就在于：轨道磁矩不但描述了电子运动的角动量，而且还将角动量与电、磁融合到了一起，并由此推出自旋磁矩概念；如此以来，粒子运动生磁也由单一的公转生磁延伸到了自旋生磁，这就为量子力学后来的发展与研究注入了实实在在的物理内涵和生命活力。
电子公转与磁矩
磁矩是量子力学能够活起来的真正灵魂！因此，要想真正理解量子力学，必须先从认识和理解轨道磁矩含义开始，才能看清自旋磁矩的本质，才能真正理解量子力学所揭示的微观世界物质运动的本质。
但量子力学磁矩概念是直接从经典电磁学中移植过来的，它对其推理及物理意义的诠解总给人模糊不清与混乱的感觉，特别是自旋磁矩问题。
对此，本文从牛顿力学力矩概念出发，剖析电磁学与量子力学中磁矩概念的异同，以期找出量子力学轨道磁真正的物理作用和含义。
经典量子力学磁矩
1、力矩
力矩是作用在物体上的外力与其作用点到该物体转动轴轴心或转动质心的距离之积，即L=FR。力矩可分为单力矩（图-1）、双力矩(力偶矩，图-2)和多力矩。
力矩产生的条件是：（1）、固定中心点O；（2）、刚体连接杆R；（3）、外力F；（4）、外力作用点A（B）；（5）、O、R、A(B)共线；（6）、O、R、A(B)、F共面（旋转面），且F⊥R.
图-1 图-2
力矩概念是与物体受外力产生旋转相联系的，它是物体产生旋转或自旋运动变化所必须具备的外部条件。
2、电偶极子力矩与电矩
静电学有关电偶极子在均匀电场中所受力矩的论述如下：
图-3
“以E表示均匀电场的强度，l表示从-q到+q的矢量，E和l间夹角θ（见图-3）。根据场强的定义，正负电荷所受的力分别为F±=±q，且它们大小相等，方向相反，合力为0.然而F﹢、F﹣的作用线不同，二者组成一个力偶。它们对于O的力臂都是lsinθ/2，对于中心点O，力矩的方向也相同，因而总力矩为：
这个公式表明，当l与E垂直时（θ=π/2），力矩最大；当l与E平行时（θ=0或π），力矩为0.力矩的作用总是使l转向场强E的方向。用矢量表示，上式可写成:
与电偶极子本身有关的量q与l又一次以它们的乘积，即电偶极矩p的形式出现。这样，电偶极子所受力矩的公式可写为L=p×E.”[1]
上述可见：电偶极子首先被看作是静态的电荷粒子，这种静态是指没有考虑它的平动和自旋性，当给它们施加均匀电场E时，偶极子会产生静电场力而形成力偶矩。电矩p=ql的本质就是电偶极子力偶矩与均匀电场之比，即p=ql=L/E，它是力矩概念的延伸。
3、载流线圈力矩与磁矩
3.1、载流线圈力矩与磁矩
电磁学的磁矩概念是依据载流线圈在磁场中受安培力作用而使线圈绕固定轴转动的磁力偶矩大小定义出来的，也是力矩概念的延伸。
图-4 图-5
如图-4、5所示，单根载流线圈在磁场中的安培力是F=IlB,安培力对线圈一边产生的磁力矩是:
S=2lR是矩形线圈的平面面积，由此定义出载流线圈平面的磁矩是:.
线圈单边与转动轴组成的面积（l×R的面积）上的磁矩就是:.
对于多根导线组成的载流线圈而言，线圈面积的磁矩就可定义为:
单边面积磁矩就是:.
3.2、载流线圈内带电粒子的力矩、磁矩及洛伦兹运动势能
磁场中通电线圈所受力矩
洛伦兹运动是指运动电荷在进入磁场中其运动方向会发生偏转的现象，使运动电荷发生偏转的力称为洛伦兹力，且有F=qvB.
洛伦兹力是安培力的微观表现，即安培力与洛伦兹力本质上是同一种力，都是运动电荷在磁场中作洛伦兹运动所表现的洛伦兹力。
图-6
如图-6示，在均匀磁场内，将载流线圈的安培力与正电荷的洛伦兹力绘在同一图中时就可以看出这一结论的正确性，但要注意：线圈平面、线圈旋转平面、正电荷洛伦兹运动平面是不同的，三者有垂直关系；如图-7示，洛伦兹力方向与线圈平面垂直，与线圈旋转平面共面、与线圈转动半径R垂直，与洛伦兹运动平面共面、与洛伦兹圆周运动半径r共线。
图-7
在电偶极子的电矩概念中，将电荷看作是带一定电量的静态粒子。由此联想到线圈中带电粒子的磁矩，我们也可以将线圈内运动电荷看作是带有一定磁量的动态粒子，称作磁荷，将它的磁荷量定义为pm，又因粒子表现出电性，它在线圈中运动时，要受磁场力影响，这个力与R乘积就是它随线圈转动轴转动的力矩，即:.
因而，单个磁荷在线圈内随线圈转动轴转动平面上的磁矩就可定义为:.
因电矩是由二个带电粒子产生偶极矩定义出来的，线圈磁矩也是从安培力偶矩定义出来的，那么我们也可以将线圈转动平面上二个正电荷所受的洛伦兹力看作是一对磁力偶，则线圈转动平面内二个正磁荷所形成的磁矩就是:
由此可见：FR=IBlr=IBS/2表达的是载流线圈在磁场中受安培力作用所形成的线圈单边的力矩概念,FR=qvBR表达的是线圈内单电荷在磁场中受洛伦兹力作用所形成的线圈转动平面上的力矩概念；Fr=qvBr表达的是电荷在磁场中作洛伦兹运动时的势能概念，因此说，FR与Fr具有不同涵义。同时，将电子看做是磁荷时，它在线圈内形成的磁矩就是：.
这正是库伦磁荷力力矩概念的延伸。
4、对量子力学轨道磁矩物理含义的分析
4.1 、量子力学轨道磁矩的描述
量子力学磁矩概念是从电磁学中载流线圈磁矩概念移植过来的，但这种直移被运用到电子绕原子核运动中去时就表现出一些不合理性，为什么这么说，看看它移植推导与应用过程就会发现它的不合理性所在。
“按照经典模型，电子的轨道运动相当于一个闭合电路中的电流，而一载流回路的磁矩μ=IS,其中I为电流，S为回路包围的面积。在轨道上任一点电子每周期T通过一次，故I=-e/T,其中-e为电子电荷。
图1-33
设轨道是椭圆的，如图1-33所示,则有：.
式中ω为角速度，l=me.r².ω为角动量，它是守恒量，故可以从积分号内提出来。
将推出结果代入μ=IS得：
式中-e和me分别是电子的电荷和质量。
鉴于角动量的取值是以h˜为单位量子化的，可再（1.129）式中在角动量的数值上除以h˜
使它化为整数，同时在比例系数-e/2.me上乘h˜，于是我们有:.
其中μB称为波尔磁子，它是电子磁矩的量子化单位。对于核磁矩，波尔磁子表达式（1.130）分母中的电子质量me要换成质量mN，数量大了三个数量级，于是波尔磁子单位小了三个数量级，在计算原子磁矩时核磁矩可以忽略不计”。 [5]
4.2、量子力学轨道磁矩描述的不合理性
通过上面引述，可以看出以下几个问题：
（1）、电磁学中，磁场中载流线圈二边所受的安培力、对线圈转动而言是力矩概念，量子力学在移植电磁学磁矩概念时并没有明确原子核磁力线是如何分布的，是不是与电子运动方向垂直？一个电子绕原子核运动时能不能构成力矩概念？
（2）、用I=-e/T来定性认为是类似于线圈中的电流，这是不妥的。
电流的本意是单位时间内通过导体任一横截面的电量（即电子个数），有I=△q/△t描述形式；如图-8，这里的“横截面”S是与电子流动方向垂直的。
图-8
如图-9所示，电子在导线中流动形成电流概念的平面是S(垂直)，而不是S(水平)；但如图-1.33所示，在量子力学中，电子运动轨迹所产生的面积S(水平)与电子运动方向是在同一平面上，因此，用I=-e/T来表示该面积内的电流，这与电磁学中电流的定义有根本性的出入，且不说电子运动方向与其轨迹共面，单就用T取代△t就存在不合理部分，因为线圈电流是t时刻通过导线截面的电子个数，而这里是T时间段电子作闭合一周的圆周运动，这二种所谓的电流应该是二种完全不同的概念。
图-9
（3）、在线圈磁矩μ=IS中，导线内带电粒子流动时产生的安培力与线圈转动平面半径只构成力矩或力偶矩关系，不构成角动量关系；而量子力学中电子轨道磁矩是与电子绕原子核作曲线运动时的角动量相联系的，没有力矩或力偶矩关系。因此用线圈磁矩来比拟电子绕原子核运动的轨道磁矩是极不合理的。
（4）、力矩概念中，线圈一边所受的安培力方向与线圈平面是垂直的，而量子力学中，核外电子所受的原子核引力方向与电子轨道平面是共面的。
（5）、在开普勒第二定律中，行星绕太阳做椭圆运动时，从太阳指向行星的直线在相等的时间内扫过的面积相等，即遵守轨道角动量守恒，用公式描述就是L=mvr.
从μl=-el/2me和l=me.v.ω=me.r².ω来看，则有：
.可见，量子力学的电子轨道磁矩就是指用电子电荷表示的角动量之半，即电子轨道磁矩的本质就是用电荷表示的荷角动量；但我们在量子力学中定义I=-e/T，这里T是电子绕正电荷旋转一周的时间，因此电子在周期T下的质量角动量应是：
不可能是：
同样，如果用电子电量表示的荷角动量应为：.
而不可能是：.
那么，这个“1/2”问题出在哪里呢？关键就出在它将轨道面积用角动量来表示时有二者转换关系上。
4.3、量子力学轨道磁矩的真正物理意义
均匀磁场中的电子洛伦兹运动
量子力学轨道磁矩的实质是将电子运动轨道构成的面积用角动量来表示的形式，我们以电子在均匀磁场中作洛伦兹圆周运动为例：
设电子在均匀磁场中作洛伦兹运动的轨迹圆半径为r、周长为L，则有：.
可见，电子作洛伦兹运动的轨道圆面积与其轨道角动量之间存在1/2的转换关系—认清这一点很重要，它将是破解“量子力学中的电子为什么会有1/2自旋形态存在？”的法宝！（注：本篇主要介绍轨道磁矩问题，对自旋磁矩问题的思考将放到下一篇文章中论述，敬请关注！）。
我们将I=-e/T、S=l.T/2m代入μ=I.S中就可得：.
由此可见，量子力学轨道磁矩描述的是电子在原子核磁场中作洛伦兹运动时所表现出来的电子轨道面积与其轨道角动量之间的关系，其本质还是角动量，但它不是用电子质量而是用电子电荷量表示出来的荷角动量；其实轨道磁矩概念与磁并没有半点关系，只因为用电荷概念表示时，由于带电粒子做闭合曲线运动时会产生磁效应，这才使磁矩与磁联系到了一起。
5、量子力学轨道磁矩与线圈及线圈粒子磁矩的区别
在电磁学中，载流线圈在磁场中所受安培力的力偶矩是：
则线圈磁矩是：
虽线圈内单电荷磁矩与“质-电系”中电子磁矩在数学表达形式上相同，即都表示单电荷在磁场中所受的洛伦兹力到转动中心间距离之积与磁场的比值，即：
但它们的含义不同：线圈内单电荷的洛伦兹力F方向与线圈旋转半径R不在同一平面上垂直，FR=L是力矩概念，“质-电系”中电子所受洛伦兹力方向与其绕核公转半径r在同一平面上共线，Fr=E(势)是势能概念。
不过，这里要强调一点，在电子绕原子核运动中，电子磁矩是与其势能相关，依据动势能守恒原理，它与电子绕原子核运动的动能应该是对应的，但这种对应不同于我们目前的动能定义，而是目前动能定义的二倍，即F=mv²/r，则有Rr=mv²=E(势).
可见，量子力学电子轨道磁矩概念就是电子在原子核磁场中所具有的磁势能与中心磁场之比，即：.
这与线圈磁矩概念有本质区别，线圈磁矩概念是线圈内电流在磁场中产生安培力而形成线圈的力偶矩与磁场之比，即：
6、角动量与力矩、电矩和磁矩的关系
角动量也是描述物体转动所引入的概念，它是指一个物体绕中心点(体)作闭合曲线运动时，其质量、速度、与它到中心点的距离之积，即J=mvr；但这里要注意：速度v与半径r是在同一平面内构成垂直关系的。如果将角动量与其公转时间相结合，则有：.
F=mdv/dt是牛顿用于定义力概念的数学表达式，它是指在dt内使m物体产生dv的速度变化时外界所给予物体的作用力大小，这个力的方向与v一致，即它是用于描述物体作直线运动时力的数学公式；但在圆周运动F=mv²/r中，v的大小不但不随t变化，且力方向也不与向心力或离心力方向一致，它是用于描述物体作曲线运动时力的数学公式。因此说，牛顿力公式F=mdv/dt与惠更斯力公式F=mv²/r有着不同的含义和适于领域，牛顿力F=mdv/dt公式不适于描述圆周和曲线运动。
如果在有心力场中的圆周运动向心力是：
那么F=mv²/r所描述的力如果要与牛顿力学的“作用与反作用力”相对应，则它应被看作是一种离心力，即在圆周运动中绕体企图保持直线运动状态所表现出来的对向心力的反抗作用，这正是爱因斯坦广义相对论中所描述的“曲率张量”概念的意义所在。“匀速圆周运动的天体所受万有引力的大小正好等于其惯性离心力的大小，且处于稳定的惯性运动状态” [8] ，这说明圆周运动可被可作是一种惯性运动状态。
在由有心引力场构成的圆周或椭圆运动系统中，绕体相对于中心点（体）运动则没有力矩概念存在，只有角动量或势能概念存在。
7、电子轨道磁矩的新诠解
7.1、洛伦兹运动的推广形式
荷兰物理学家洛伦兹是第一位假设电子可以被看做是一个带有静质量的刚体小球的人，他是粒子实在论的坚定信仰者，他创立的电子论认为：“电子是一个基本的带电粒子，作为电磁场的场源，它激发一个电磁场，这是电子的‘固有电磁场’，这个固有电磁场也是电子自身的组成部分。于是电子乃是一个带电粒子与一个电磁场的统一体” [2] 。但他没有看到电子磁场的真正起源在于它的自旋性，故他的电子论面对“电磁质量”、“辐射阻尼”等问题时就显得束手无策了。
电子自旋磁矩
“1921年，康普顿在关于X射线和原子散射的文章中也曾提出，也许可以这样认为，电子本象一个小陀螺一样旋转着，它可能是一个非常小的磁性粒子（并建议用它来解释磁性的自然单位）。康普顿当时只是一种猜想，而且并没有继续坚持他的这种看法” [3] 。
施特恩-革拉赫实验
虽然电子自旋表面线速度会超过光速、违反爱因斯坦光速极大值原理，但因电子自旋概念能较好地解释了施特恩-革拉赫实验和泡利不相容原理，最终还是被量子力学所接受和吸纳，并逐渐推广到质子、中子、光子等微观粒子领域。
图-10
洛伦兹运动描述的是电子在磁场中作曲线运动的情况，可用图-10表示。假如我们将这个带电粒子看做是一个小自旋磁陀螺，则洛伦兹运动的物理意义应该是什么呢？
这里引述一个与自旋电子相类似的自旋磁陀螺运动实验，看从中我们能得到什么启迪？
“我在图磁盘中央钻了一个洞，穿上非铁磁性的铝轴，并将铝轴两端锉尖。这样就制成了一个磁陀螺，其一端为N极，另一端为S极，再在支撑板面中央钻孔，使之可放入条形磁铁，并可使条形磁铁上下移动(见图(a)中N极刚露出支撑板面上方，图(b)中S极刚露出支撑板面下方)。
使磁陀螺在支撑板面上稳定自旋，没有发现磁陀螺移动。再在支撑板面中央的孔内放入条形磁铁，奇怪的现象发生了:磁陀螺马上就绕着条形磁铁公转.更奇怪的是：磁陀螺公转时，发生倾斜，倾斜方向竟然与条形磁铁磁力作用方向相反--同性相吸，异性相斥！此外，磁陀螺自转方向改变时其公转方向也随着改变，但反向倾斜特性不变。”[4]
梁发库老师所作的磁陀螺运动实验
从这个实验中可以看出，一个处于定点自旋的磁陀螺，当它受到外来磁场影响时就会产生非定点运动，且这种运动是绕外加磁场中心作圆周运动，由此可以设想，如果这个自旋磁陀螺以一定直线速度运动到外加磁场区域内，它会做怎样的运动？一定也是绕外加磁场中心作曲线运动，如图-11所示。
图-11
再看看一个带有自旋磁矩的电子，当它以一定速度运动到一个均匀磁场区域，它不也会像磁陀螺一样做曲线运动吗？也就是说，洛伦兹运动的物理本质就像磁陀螺在外加磁场中作曲线运动形式一样，是自旋的偶磁极电子受外磁场影响而产生的一种曲线运动。
按照上述思路，我们可以将洛伦兹运动图景描述为图-12形式，也可以用图-13的立体形式来表示。
图-12 图-13
从图-12中可见：正电荷顺时针自旋时，其自旋轴上方为N极（逆时针为S极），自旋磁场与公转磁场方向相异，出现相斥现象，且自旋时针与公转时针方向相反；负电荷逆时针自旋时，其自旋轴上方为S极（顺时针为N极），自旋磁场与公转磁场方向相同，出现相吸现象，且自旋时针与公转时针方向相同；即正负电荷从本质上就是一种粒子形式，只不过我们忽略了对自旋陀螺上下不同位置处自观测、测定时，其自旋时针方向是相反的这一细节，才会将电荷分为正负二种。
从图-12、图-13中我们得到启示：带有偶极磁场的自旋粒子，当它在另一个磁场空间或运动到另一个磁场空间时都会产生曲线运动现象，即洛伦兹运动，由此，可以将洛伦兹运动形式作进一步推广：
图-14.图-15.图-16
如图-14所示，中心大磁铁与绕体小磁铁可构成一个稳定的绕旋系统，那么，在“质-电系”和“地-太系”中，中心体质子、太阳都有自旋和磁场存在，将它们用图表示就是图-15、图-16的形态；仔细分析可以发现，带有自旋磁场的电子或地球，当它们绕质子或太阳运动时也可以看作是一种洛伦兹运动现象，只不过中心磁场的分布形态与表现形式不同于我们平时所看到的产生洛伦兹运动所需的“上下型”磁场罢了。
地球磁场与太阳磁场相互影响
7.2、电子轨道磁矩的新诠解
如果我们将“质-电系”运动看作是一种洛伦兹运动的推广形式，由此，我们还可以从“自旋磁荷”角度来解读量子力学轨道磁矩的真正物理含义。
假如把图1-33所描述的自旋电子绕自旋原子核运动改写成图-15所描述的运动图景，则依据《物质自旋与力的形成》[7] 一文中给出的“自旋力公式”可得：
其中Pem=me·ωe是自旋电子磁荷量，Ppm=mp·ωp是自旋质子磁荷量，B=Φ/S=P(pm)/πr²是用自旋质子磁荷量在其周围空间的磁场分布强度。
由此可得：
.可见，量子力学电子轨道磁矩的真正物理意义就是电子自旋电子磁荷量与原子核距离之积。
如果依据洛伦兹力公式F=evB与库伦磁荷力公式F=B.pm,可得pm=ev，由此可以推出：
因磁荷没有正负概念，故有：
同时，我们从电磁学磁矩定义中也可以看出：量子力学在移植电磁学磁矩概念时，将通电线圈力偶的磁矩μ=IS直接运用到“质-电系”中确实不妥，因为“质-电系”中只有一个电子绕核运动，并不存在对称力偶性。
8 、总结：
8.1、力矩、电矩、磁矩都是描述物体转动或公转的物理量，但三者在本质上有不同含义；电磁学的磁矩概念是牛顿力学力矩概念的延伸；量子力学磁矩概念是势能概念的延伸，角动量也是势能概念的延伸。
8.2、经典力学中的力矩、电磁学中的磁力矩与量子力学中的磁力矩虽有相同的数学表达式，即L=FR，l(m)=Fr，但含义不同。
8.3、量子力学中电子轨道磁矩是电子在原子核磁场中所具有的磁势能与中心体磁场之比，即：
F与r在同一平面内共线，它表现的是电荷角动量μ(l)=evr；电磁学中线圈磁矩概念是线圈内电流在磁场中产生安培力而形成线圈的力偶矩与磁场之比，即：
但F与R不在同一平面内垂直。
8.4、力矩、磁矩、角动量的数学对应关系式为：
但它们所对应的物理量含义则截然不同。
8.5、从自旋电子磁荷角度分析，电子轨道磁矩就是自旋电子磁荷量与原子核距离之积，即：
原子尺度测量材料轨道磁矩与自旋磁矩
粒子磁矩与核磁共振
【参考文献】：
〔1〕赵凯华，罗蔚茵/著《力学》，高等教育出版社1995年7月第1版。
〔2〕赵凯华，陈熙谋/著《电磁学》，高等教育出版社2003年4月第1版。
〔3〕赵凯华，罗蔚茵/著《量子物理》，高等教育出版社2008年1月第2版。
〔4〕许咨宗/著《核与粒子物理导论》，中国科学技术大学出版社2009年8月第1版。
〔5〕徐龙道等/著《物理学词典》，科学出版社2004年5月第1版。
[1]赵凯华，陈熙谋/著《电磁学》，高等教育出版社2003年4月第1版，P16-17页。
[2]谭天荣：《震惊世界的光量子》物理学科网。
[3][6]许咨宗/著《核与粒子物理导论》，中国科学技术大学出版社2009年8月第1版P82- 83页。
[4]杨燕/《自旋磁陀螺的反向倾斜和公转》 1992年《自然杂志》15卷4期P304页
[5]赵凯华，罗蔚茵/著《量子物理》，高等教育出版社2008年1月第2版P50页。
[7]司今/《物质自旋与力的形成》 吴水清/主编《格物》2012.8总第51期P53-58页。
[8]陈波/著《物质万物之惯性原理》中国社会出版社2012年1月第1版P48页。
司 今：男，1966年10月出生，皖蚌埠市人，机械工程师，主要从事理论物理学研究，著有《关于地球椭圆轨道和自旋变化成因的探讨》、《物质自旋与力的形成》、《波粒二象性的本质》、《量子力学磁矩的含义》等多篇论文发表。
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