拓扑学主要研究在连续变形下关于几何形状的不变性质。它曾被J. Dieudonné 誉为现代数学的“女王”。这主要是因为拓扑学的思想方法已经渗透到了现代数学的各个分支学科中,无论是数论、抽象代数和代数几何,还是微分方程与几何分析。但是不少代数拓扑学的教材都受到“单纯同调-奇异同调-同伦”这一理论框架的束缚,不能很好地解释代数拓扑的想法来源于何处,其作用又是什么。实际上,拓扑学的基本思想来源于复变函数论(尤其是黎曼面)和经典代数几何,而在现代数学中之所以要大量使用抽象的拓扑学方法的主要原因是由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要。值得我们注意的是《指南》还将整体微分几何和几何分析也纳入到了微分拓扑的范围中,这说明用整体微分几何(包括复几何)与偏微分方程的方法研究微分流形上的整体几何性质,其最后的目标指向了微分拓扑。由此我们也可以将拓扑学看成是更抽象的现代意义上的几何学。 《指南》按照拓扑学发展的历史途径,先解释了19世纪末以“三体问题”为代表的一批经典的数学物理问题因为无法求出精确解,只能转而考虑定性的拓扑解。然后极为清楚地通俗介绍了连通性、相交数、基本群、高维的同伦群、同调群、上同调群、上同调环、向量丛、示性类以及K-理论等基本概念。例如在讲上同调环时,用历史上著名的Hopf纤维丛来说明上同调环的用处,也就是用来解决经典的计算球面同伦群的问题。在讲解微分拓扑的部分,《指南》重点介绍了微分拓扑中非常重要的微分流形的分类问题。先讲比较简单的0维、1维和2维流形。而对于比较复杂的3维流形,《指南》仔细解释了Thurston的工作,即用八种几何结构来对3维流形进行分类。接下来简单介绍了Freedman、Donaldson和Witten等人关于4维流形的著名工作,以及高于4维的流形的状况。最后《指南》还简要讲解了Hamilton和Perelman如何利用偏微分方程和黎曼几何的工具成功解决庞加莱猜想问题的大致过程。参考文献[1]J. L. Casti,不变量理论的两个转折点,数学译林,2001,第4期.[2] 齐民友.从微积分的发展看微积分的教学(续三),高等数学研究,2004,第5期.[3] 陈跃,从历史角度讲大学数学,数学教育学报,2008,第4期.[4] 赵瑶瑶,张小明,关于历史相似性理论的讨论,数学教育学报,2008,第4期.[5] H. M. Edwards , Fermat’s Last Theorem — A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Springer-Verlag ,New York ,1977.[6] T. Gowers (ed.) , The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.[7] [苏] A. 亚历山大洛夫, 数学——它的内容、方法和意义(三卷),科学出版社,1988.[8] 李克正,代数几何初步,科学出版社,2004.[9]冯克勤,代数数论简史,湖南教育出版社,2002.[10] I. R. Shafarevich , Basic Algebraic Geometry 1, Springer-Verlag, 1994. (世界图书出版公司1998年重印)[11] J. Dieudonné , History of Algebraic Geometry ,Wadsworth,California,1985.陈跃(上海师范大学数学系, 上海, 200234)