为庆贺杨振宁先生百岁华诞，2021年9月23日，杨振宁先生学术思想研讨会——世纪物理情在清华大学大礼堂举行，由清华大学、中国物理学会、香港中文大学主办。本文是施郁教授在这次研讨会上的演讲。（视频链接）
主持人欧阳钟灿院士：第三位报告人是复旦大学施郁教授。施郁教授曾经于2004年到2005年在清华大学高等研究中心工作，经常近距离接触到杨先生，聆听杨先生的教诲。后来他到复旦大学，他自己的研究领域有一个方向叫做“物理学史的若干问题”。他现在对物理学科普以及物理学史做了很多工作，并写了很多有关杨先生的文章。今天将他请来做一个关于杨先生的报告——《物理学的美与真：杨振宁的科学贡献》。好，大家欢迎。感谢会议给我这个光荣的机会，在杨振宁先生百岁华诞的时候做这个报告，向大家汇报一下关于杨先生的学术研究，我的一些体会。也谢谢欧阳老师的介绍。为了庆祝杨先生100岁生日，我做了100页PPT。演讲分6个部分：杨先生在本世纪初有一个非常有影响的演讲：《20世纪理论物理的三个主旋律：量子化，对称性，相位因子》。对称性就是杨振宁本人物理生涯的主旋律，对于物理学之美的追寻贯穿了杨振宁的科学生涯。“我物理上的品味很大程度形成于1938到1944年在西南联大学习的时期。这些年，我开始欣赏爱因斯坦、狄拉克和费米的工作。他们当然有不同的风格。然而他们都有一种能力，能够从物理概念、理论结构或者物理现象提炼出基本，然后集中于本质。”
爱因斯坦：深广，
狄拉克：笛卡尔式的纯粹，
费米：厚实，稳健有力。
他还用“秋水文章不染尘”形容狄拉克的文章，用“神来之笔”及高适的诗“性灵出万象，风格超常伦”描述狄拉克方程和反粒子理论。 杨先生的风格结合了这三种不同的风格。因为三位大师都有共同的能力，杨先生也具有杨先生的老朋友戴森（Freeman Dyson）在2009年有过一个著名的演讲，提到：“杨教授是继爱因斯坦和狄拉克后，20世纪物理学的卓越风格大师……向费米学到了最多的物理……他是保守的革命者。”
“我强调了杨振宁的3个杰出品质，这些品质通常很难结合在一起。第一，奇特的数学技巧，这使得他能够解决技术问题。第二，对自然的深刻理解，这使他问重要的问题。第三，社会精神，这使他在中华文明的复兴中扮演了重要角色。这三个品质共同将他塑造成他，一位继往开来的保守革命者。”
关于芝加哥时期，杨先生的老同学、1988年诺贝尔奖得主斯坦伯格（Jack Steinberger）曾经回忆：“最令人印象深刻的是杨振宁，战后，24岁的他从中国来，虽然战时中国条件有限，他来芝加哥读研究生时，熟悉所有的现代物理”。
年初,杨先生给黄昆写信，说有点幻灭（disillusionment)。然后在这一年，他学习钻研了4个题目，后来都开花结果，导致4个重要的发现。杨先生在那一年还发表了在美国的第一篇文章“量子时空”（On Quantized Space-Time），在当时Snyder刚发表的理论中，通过时空弯曲实现平移不变性。这也是对称性方面的一个工作。这篇文章沉睡了几十年以后，突然在本世纪以来，因为非对易几何的兴起，引用大大增多（图1）。本文引用情况来自Web of Sciences数据库（截至2021年8月12日。此数据库的早期数据存在收录遗漏的情况，仅作参考）。图1 杨振宁在美国的第一篇文章“量子时空”的历年引用情况。 二战后，物理学家回到基础研究，粒子物理大发展。对称性分析是关键，而这正是杨先生所擅长，他逐步成长为理论粒子物理的缔造者之一。 杨先生早年有3篇文章在对称性分析方面初步确立领先。第一篇（1948年）基于对称分析，得到核反应产物角分布。这就是他的博士论文，导师是特勒（Edward Teller）。第二篇（1950年）从对称性原理得到𝝅0介子衰变为2个光子的选择定则，在芝加哥完成。第三篇是1950年和Jayme Tiomno合作的β衰变等过程中，自旋1/2粒子的宇称算符的相位因子，这是到普林斯顿后的第一篇文章。其中关于𝝅0衰变的工作最著名，发表几年后成了标准知识，一般不引用原文了。有意思的是，1980年代引用又多起来，本世纪以来飙升起来。1949年，杨先生还有一个著名的工作是和费米合作的费米-杨模型，探讨核子和反核子组成π介子的假设。当时普遍认为介子是基本粒子，而费米和杨振宁提出：“介子是基本粒子吗？”杨先生并未幻想细节与实际一致，但是费米认为，问题本身就值得发表。刚才提到，戴森说，杨振宁问重要的问题。费米-杨模型就是一个很好的例子。这个工作有很重要的历史意义，相当于发现原子后，问原子是否可分。斯坦伯格的评价很干脆:因渐近自由而获得2004年诺贝尔奖的维尔切克（Frank Wilczek）做过跟斯坦伯格精神一致但更详细的评论。首先，坚实地以相对论量子场论为框架（那个时候量子场论还没有被普遍接受为粒子物理的框架）；第二，由重得多的粒子组成轻的粒子（借助于结合能），是个解放性概念，后来用夸克和胶子组成介子和核子正是沿着这条思路；第三，费米-杨模型对强作用采用与弱作用费米理论类似的形式，期待了强和弱作用机制的深刻类似，这是标准模型的中心特征，而标准模型正巧建立在杨振宁本人的杨-米尔斯理论基础上。诺贝尔奖工作前另两个粒子物理唯象工作
杨振宁在做出获得诺贝尔奖的工作前，还有两个粒子物理唯象工作：一是1949年在芝加哥与李政道和M. Rosenbluth关于弱相互作用普适性的半页纸短文，这一工作很快成了这个领域的基本知识；另一个是1956年和李政道提出G宇称，联合电荷共轭对称和同位旋对称，由此确定了强作用过程的一些选择定则。1956年最重要的物理难题就是所谓θ-τ之谜。θ和τ这两个基本粒子好奇怪，它们的宇称不同，但质量和寿命完全一样。如果物理过程的宇称总是守恒的，那θ和τ就是两个粒子。但是为什么大自然要将它们的质量和寿命微调成完全一样？这非常奇怪，很不自然，很不美。杨振宁和李政道发表了划时代的文章，提出：“弱相互作用中宇称是否守恒？” 这又是一个戴森所说的重要问题。这个问题将θ-τ这样一个具体的难题扩展为一个弱相互作用普遍问题。他们提出很关键的“宇称在强与电磁相互作用中守恒，但在弱相互作用中也许不守恒”的可能性，将弱相互作用主宰的衰变过程独立出来。就是说，粒子的产生是强相互作用过程，是宇称守恒的，因此粒子本身有确定的宇称。但是衰变的时候，由弱相互作用主宰，如果宇称不守恒，就可以衰变成不同的产物。这样，θ和τ就是同一种粒子，只不过可以衰变为不同宇称的产物。杨先生和李先生经过具体计算发现，原来，以前并没有实验证明在弱相互作用中宇称是否守恒。这是一个顿悟时刻（Aha moment）！然而长期以来，宇称守恒有着直觉上的吸引力，被当作自然、神圣的，而且非常有用，因此杨振宁和李政道的论文受到普遍的轻视、异议乃至嘲弄。但是吴健雄决定做他们指出的实验中的 衰变实验（杨振宁后来评价：“独具慧眼”）。次年1月初，她领导的实验组证明此过程中宇称确实不守恒，引起整个物理学界的巨大震荡。杨振宁和李政道当年即被嘉以诺贝尔奖。得奖速度创造整个诺贝尔奖历史记录，至今未被打破，前无古人，后无来者。 因电弱理论而获得1979年诺贝尔奖的温伯格(Steven Weinberg）描述：“李政道和杨振宁扭转了从爱因斯坦开始的物理学家的一个倾向，即对称性是不言而喻的原理。每个人都感到这一突破带来的激动。” 这篇论文引发宇称革命，第二年有极多的引用，但是因为成为核心知识，原文引用自然衰减。但是1990年代以来，原文引用又增加起来（图3）。 1957年，杨先生和李先生又作了一系列宇称破坏的后续工作。首先，杨先生、李先生和Reinhard Oehme合作，讨论弱相互作用中，宇称（P）、电荷共轭（C）、时间反演（T）各自不守恒之间的关系。前一年秋天，他们就开始研究这个问题。实验上确定宇称不守恒后，他们1月7号投稿。当然他们没想到电荷共轭-宇称（CP）也不守恒，但是他们的理论框架，对1964年CP不守恒分析有决定性影响。3天后，杨先生和李先生又将中微子二分量理论投稿。由于宇称不守恒，可以用手性区分中微子和反中微子，各自只有两个分量。特别是，文章详尽讨论了实验相关问题，简洁地指出中微子探测的截面应该是原来理论结果的两倍。1960年，中微子发现者Frederick Reines和Clyde Cowan指出，探测截面确实应该比他们最初（1956年）公布的增加一倍。1978年，Reines解释：“当初对于探测器效率估计过大。” 2002年Reines在诺贝尔演讲中说：“正如我们几年后从李政道和杨振宁处了解到的，截面应该扩大到两倍，因为宇称不守恒及中微子手性。”宇称不守恒确立后，人们纷纷研究其他弱相互作用衰变，包括超子衰变为π介子和核子。1957年10月，杨先生和李先生对此作了分析。他们定义的几个关键参数成为这个领域的标准语言。1960年，李先生和杨先生作了高能中微子实验的理论探讨，是这方面的第一个理论分析，引导出后来许多重要研究，也讨论了传递弱作用的中间玻色子W。斯坦伯格的诺贝尔奖就是在中微子这方面，他说：“这种实验的物理意义在李政道和杨振宁的论文中被列表讨论，这篇文章被证明是预知未来的……当中微子束和探测器越来越有力后,这些过程成为多年深入实验的课题。”
1960到1962年，杨先生和李先生还对中间玻色子作了唯象和逻辑分析。
1999年诺贝尔奖得主Martinus J. G. Veltman说:
“他们刚开始系统研究矢量玻色子（弱相互作用的W和Z），无法知道他们在发展标准模型上可以走多远。”
1964年，实验上发现了CP不守恒。杨先生和吴大峻提出分析CP不守恒的唯象框架，与李-Oehme-杨文章共同定义了该领域的理论框架和术语。CP不守恒的实验发现者James Cronin（获1980年诺贝尔奖）说：“在1964年的所有这些理论文章中，只有两篇今天还被引用。其中之一是吴大峻和杨振宁的文章……在过去的29年中是实验的指导。”
而斯坦伯格回忆，正是吴-杨文章启发他去测量中性K介子衰变的主要参数。1965年开始，杨先生和合作者对高能强子碰撞作了一系列研究，将强子看成一个延展物，发展了一个唯象几何模型，解释了很多现象，提出许多被普遍使用的概念（合作者包括吴大峻、Nina Byers、邹祖德、J. Benecke、阎爱德等）。杨先生和合作者运用对称原理，立足实验分析，提出未来实验方向，而不随便猜测，体现了费米的影响。这些工作与实验密切联系，引领了本领域发展，成为标准知识，大多进入教科书，人们一般不引用原文了。因为科研新发展，部分文章近年来引用又开始明显增加。 杨先生1952年发表了2维伊辛模型的自发磁化计算。这是杨先生做过的最长的计算，是绝对的壮举！Dyson称之为“雅可比椭圆函数理论的大师式练习”。在杨先生建议下，张承修计算了长方形格点，与杨先生计算的正方形格点的临界指数都是1/8。这是临界指数普适性的最早迹象。1952年杨振宁还与李政道合作发表了两篇相变统计理论的文章，巧妙地研究格气模型的巨配分函数，解析延拓到逸度的复平面上，其零点分布决定热力学性质。热力学极限下，零点趋向正实轴，代表相变。由此澄清了相变本质，消除了对于同一相互作用下可存在不同热力学相的疑惑，即“分子如何'知道’聚集成液体还是固体”。这个疑惑现在已经转变为常识。两篇文章的高潮是关于伊辛模型零点分布的单位圆定理。杨振宁称之为“小珍品”；数学物理学家David Ruelle将其用来作为猜测和证明定理的典范。这两篇文章还引起爱因斯坦兴趣。一般论文的每年引用数趋势下降，而1952年这3篇相变文章的引用情况很“反常”，1960年代有个跳跃，然后一直保持增长趋势。这反映了统计力学的发展情况，以及这3篇论文的重要地位。 图4 杨振宁1952年的3篇相变论文（伊辛模型计算以及与李政道合作的两篇统计理论文章）的历年引用情况。 杨先生和李先生获诺贝尔奖前后，研究了量子多体问题，以玻色气为主。这是物理上由液氦超流驱动，数学上定义完善的模型。杨振宁先与黄克孙等人将赝势法用于这个系统。写完θ-τ文章后，与李政道发展二元碰撞法。又和黄克孙、李政道用赝势法得到同样结果以及低激发谱，特别是基态能量的平方根修正项，被称为“李-黄-杨修正”。获诺贝尔奖后，杨振宁和李政道又回到玻色气问题，作了一系列后续工作。50年后，冷原子物理实验证实了他们的理论结果! 杨先生1992年被问到“选择10到20年后变得重要的问题的能力”时，回答说：“与物理现象或者与物理学基本结构直接相关的课题。” 玻色气就是个很好的例子，而且是40-50年后特别重要。 1961年杨先生访问斯坦福大学，那里William Fairbank和Bascom Deaver实验发现超导环中磁通量以hc/2e为单位的量子化。Fairbank疑惑，这是不是因为电磁场有超越麦克斯韦理论的新规律。杨振宁和Nina Byers给出理论解释，证明了电子配对即可导致观测到的现象，澄清了不需要引入新的关于电磁场的基本原理。这也是杨先生与实验家互动的一个例子。玻色气和磁通量子化这些问题最终统一起来，引导杨先生走向了非对角长程序。这是他1962年提出的概念，统一刻画超流和超导的本质。2006年，因氦3超流理论而获得2003年诺贝尔奖的Anthony Leggett在他的专著《量子凝聚》序言中说：“我从一开始就采纳首先由杨振宁阐明的观点，即应该简单地考虑单粒子或两粒子密度矩阵。”
玻色气、磁通量子化和非对角长程序这3篇文章的引用，都是多年后远超当初（图5）。 图5 杨振宁的李-黄-杨修正、超导环磁通量子化（与Nina Byers合作）以及非对角长程序论文的历年引用情况。 杨先生还有一批与贝特假定有关的工作，与杨振平等人合作完成。贝特假定是1931年贝特（Hans Bethe）关于1维自旋链的波函数的一个假定，关键是自旋波没有衍射。非对角长程序工作之后，杨先生寻找具有这种长程序的模型，其间重燃了1947年和1952年对贝特假定的兴趣，特别是，研读了E.H. Lieb和W. Liniger用贝特假定研究1维δ函数排斥势中玻色子的工作。1964-1966年，他和杨振平研究格气模型里的相变及其量子推广。然后研究与之等效的各向异性海森堡链，用了贝特假定，并如此命名。杨先生在1967年，研究了1维δ函数排斥势中的费米子。这打开了两个领域的大门：一是杨-巴克斯特方程，开辟了在数学和物理中一个重要领域；二是1维费米子，后来在冷原子等实验系统中实现。次年他还研究了该模型的S矩阵。后来人们研究了很多可解模型的S矩阵。杨-巴克斯特方程与扭结理论、辫子群、霍普夫代数、量子群、拓扑、弦理论等等都有密切的关系。 两年后，杨振宁又和杨振平研究了1维δ函数排斥势中的玻色子在有限温度的严格解。这是历史上首次得到的有相互作用的量子统计模型在有限温度的严格解，近年来，也在冷原子系统中得到实验实现和验证。杨-巴克斯特方程和有限温度解这两篇文章的引用情况也都是呈长期上升趋势（图6）。 图6 杨振宁的杨-巴克斯特方程论文和有限温度1维玻色子论文（与杨振平合作）的历年引用情况。1989年，杨先生终于找到了具有非对角长程序的模型，是在当代问题高温超导中很重要的2维Hubbard模型，是在激发态。具体来说，是通过η配对，这是总波数为π的电子之间配对（传统配对的总波数为0）。这篇文章的引用数在1990年代中期最多，现在又开始明显增多（相对而言，发表时间距离现在时间还不算很长）。图7 杨振宁1990年Hubbard模型中η配对的文章的历年引用情况。在η配对基础上，杨振宁和张首晟很快发现了Hubbard模型的SO(4)对称性，与超导性和磁性都相关。由此，张首晟后来又发展出高温超导的SO(5)理论，将超导性与磁性统一起来。张首晟称之为“对称性支配相图”。SO(4)对称性这篇文章引用很多，Google Scholar统计到近千篇，但是在Web of Science无引用信息，因为此文发表于新杂志，作为支持。杨先生没有研究生物物理，但是这方面也问过一个重要问题。他在给《相变与临界现象》（Domb和Green编，共20卷，1971-2001）第一卷的序言最后一段写道：“今后几十年的一个重大智力挑战是脑组织的问题。记忆存储的基本机制是什么？什么过程实现体内基本上化学的过程与大脑的很特定、非统计的操作之间的联系？最重要的，人脑如何实现概念的形成？我疑惑，是不是这些研究中的物理学精神与感动'热力学的合理基础’奠基者的并不相似。”
在这个方向上，Little的文章发表于1974年，Hopfield的文章发表于1982年。杨先生对扎根于物理现实的普遍模型严格求解与分析，从而漂亮地抓住问题的本质和精髓。这方面工作与物理现象、场论和数学都有深刻联系，对称性也起了重要作用。大多数工作具有极长的生命力，原文引用不断创新高。 1947年，在芝加哥，杨先生学习了泡利对于规范理论的综述文章，对于通过规范（指相位）不变性得到电荷守恒这一思想印象深刻，试图将它推广到非阿贝尔规范理论，以描述粒子间的相互作用。当时也有实验背景。1947 年，𝝅+介子在宇宙线中被发现。所以杨先生也试图与介子挂钩。但是1947年的尝试没有成功。到了1954年时，越来越多的粒子被发现。杨先生觉得，需要一个原理，来写下相互作用。杨先生在访问Brookhaven实验室时，与米尔斯合作，在两篇短文中，提出了杨-米尔斯理论。这两篇短文是：C. N. Yang, R. Mills, 同位旋守恒与广义规范不变, Phys. Rev. 95, 631 (1954)；
C. N. Yang, R. Mills, 同位旋守恒与同位规范不变, Phys. Rev. 96, 191 (1954)。
第一篇短文是杨振宁1964年4月在美国物理学会会议的报告的摘要：“电荷是电磁场的源。这里的一个重要概念是规范不变性，它紧密相关于 (1)电磁场的运动方程，(2)流密度的存在， (3)可能存在的带电的场与电磁场的相互作用。我们尝试将这一规范不变性的概念推广，以用于同位旋守恒……”
这是推广规范场的第一条途径，将同位旋守恒跟电荷守恒相类比，既然电荷守恒是阿贝尔规范不变性的后果，那么提出，同位旋守恒也是一种规范不变性的后果，这个规范不变是非阿贝尔规范不变。第二篇《同位旋守恒与同位规范不变》是论文，其摘要强调了第二条推广途径，即同位旋转动是局域的，而不是整体的： “……探讨了在局域同位旋转动下的不变性。这导致建立同位旋规范不变性原理，以及b场的存在，它和同位旋的关系同于电磁场与电荷的关系。b场满足非线性微分方程。b场的量子是自旋1、同位旋1、电荷±e或零的粒子。”
与局域相位变换联系的阿贝尔规范不变性表现为电荷守恒，并导致电磁相互作用。外尔发现了这个理论结构，虽然当时电磁相互作用已经是已知的。杨-米尔斯理论将它推广为与局域同位旋变换联系的非阿贝尔规范不变性，由此决定新的、待确定的相互作用。这敲开了“对称性支配相互作用”原理的大门。通过后来许多学者于1960到1970年代引入的自发对称破缺与渐进自由的观念，杨-米尔斯理论发展成今天的粒子物理标准模型，包括多位理论物理学家因为基于杨-米尔斯理论的工作而获得诺贝尔奖。杨振宁和米尔斯1954年文章的最后一段讨论了规范粒子的质量问题：“在电动力学中，人们认为，电荷守恒要求光子质量消失。对于b场（即杨-米尔斯规范场），没有相应的论证，虽然同位旋守恒成立。因此我们对于b量子（即杨-米尔斯规范粒子）不能做出任何结论。”
这有预见性。后来发现，杨-米尔斯规范粒子的质量确实可能不为零，也可能为零。电弱理论中，在保持物理定律的对称性前提下，允许现象的对称性自发破缺，这导致弱相互作用规范粒子质量不为零。而在关于强相互作用的量子色动力学中，规范对称没有破缺，规范粒子胶子的质量确实为零，但是夸克和胶子被禁闭着。1979 年诺贝尔奖是关于建立在杨-米尔斯理论基础上的电弱统一理论。 “今天我们有个被称作基本粒子物理学的'标准理论’，其中强、弱和电磁相互作用都从局域对称原理给出……这个概念在1954年被用到非阿贝尔局域对称群。”
“更复杂的群的推广是1954年杨和米尔斯一篇重要文章中做出，他们展示了怎样构造一个强相互作用的SU(2)规范理论……我们目前关于基本粒子相互作用的细节性理论可以作为对称原理和对付无穷大的可重正化原理的后果。”
1999年诺贝尔奖是关于杨-米尔斯理论的可重正性。“杨-米尔斯理论大概是对于重正化来说最好的理论……从探究杨-米尔斯理论中的费曼图开始，我确定了很多发散的消失。”
“我计算了场论的标度性质，我尝试的第一个理论是杨-米尔斯理论……量子色动力学是一种规范群SU(3)的杨-米尔斯理论。”
't Hooft 也发现了渐近自由，但是没有发表。2004年诺贝尔奖是关于杨-米尔斯理论的渐近自由。“'t Hooft关于杨-米尔斯理论可重正性的杰出工作将非阿贝尔规范理论重新介绍到业内……我们判断可以计算杨-米尔斯理论的β函数……”
“我们发现展示渐近自由的理论叫做非阿贝尔规范理论，或者杨-米尔斯理论（杨和米尔斯，1954）。”
杨-米尔斯理论已成为标准知识和核心知识，绝大多数人不引用原文，正如讨论相对论时一般不引用爱因斯坦的原文。以“Yang Mills”为主题的论文有2万篇，以“non ablian”为主题的论文有7千多篇。原文引用趋势先是逐年上升，1978年左右是高峰，然后下降，1990年代以来又开始上升（图8）。图8 1954年杨-米尔斯理论原始论文的历年引用情况。1957年4月罗切斯特会议上，杨先生就曾提出弱相互作用的中间矢量场可能是规范场。但是杨先生认为不应当马虎地将规范场变成唯象的东西，认为牵强尝试破坏了规范不变性。1960年代后期开始，杨先生回到规范场，在规范场数学结构和磁单极方面作了一系列重要工作，开辟了新领域。其中第一篇论文是1967年和吴大峻合作的非阿贝尔磁单极，是经典纯杨-米尔斯理论的第一个解。1967-1968年，杨先生意识到规范场深刻的几何意义，开始研究规范场的积分形式，发现了不可积相位因子的重要性。此文给出推广规范理论的第三条途径：将不可积相位因子推广为不可积李群元素。杨振宁和吴大峻将规范场基本概念“翻译”成纤维丛基本概念。关于数学和物理对应的“吴-杨字典”引起数学界的广泛兴趣。其中与物理上的源对应的问号代表当时还没研究。 文章里面还包含了用不可积相位因子，重新研究狄拉克磁单极，揭示了拓扑和物理的深刻联系，解决了有几十年历史的奇异弦困难。有的文献称之为阿贝尔吴-杨磁单极。1976年他们又用纤维丛概念详细讨论，杨振宁认为这是他最优雅的工作之一。 这两篇文章引用一直很多，因为发现了新的丰富矿藏，不断被发掘。 图9 杨振宁和吴大峻1975年规范场与纤维丛对应的论文以及1976年第一篇磁单极论文的历年引用情况。
对于无源规范场， 1977年杨先生讨论了杨-米尔斯场的一般性的自对偶条件，得到“杨方程”。后来人们发现杨方程与可积系统有密切关系。自对偶解，即瞬子解，于1975年由Belavin, Polyakov, Schwarz, Tyupkin（BPST）首先得到。1978年，杨先生又将狄拉克磁单极推广到5维平直空间或者4维球空间的SU(2)规范场，这是4维平直空间的BPST瞬子解在4维球空间的共形映射。 M. Atiyah研究了瞬子解分类，与N. Hitchin和I. Singer计算了瞬子模空间的维数。
K. Uhlenbeck将杨-米尔斯方程表示成椭圆系统，导致一系列结果（ 2019 阿贝尔奖成果一部分）。
C. Taubes研究瞬子模空间边界和自对偶4 维流形的粘结。
S. Donaldson在前面三人工作基础上，用瞬子模空间研究4维微分流形拓扑，得到Donaldson定理。结合Freedman定理，说明存在一种4维可微流形，与4维欧几里得空间拓扑等价却不微分等价（1986菲尔兹奖）。
E. Witten用超对称杨-米尔斯理论研究低维拓扑等数学问题。
“1977年以后我的兴趣转向规范理论以及几何与物理的相互作用……Singer告诉我杨-米尔斯方程，通过杨振宁的影响，它正在向数学圈渗透。”
“杨-米尔斯方程正等着被发现。但是数学家不能自己创造它们。规范场论是个领养的孩子。物理学家杨和米尔斯于1954年写下他们的方程。”
所以杨先生开启了物理与数学前沿两个汇合点，大大促进了数学与物理学以后的成功合作：有多位菲尔兹奖获奖工作与杨-巴克斯特方程或杨-米尔斯理论有密切的关系，这两者之间的深刻联系也越来越多地被揭示出来。 “大多数物理同事对数学采取实用主义的态度……我对数学有更多的欣赏。我欣赏数学家的价值判断，我崇尚数学的美和力量……奇迹中的奇迹，数学中一些概念竟提供了主宰物理宇宙的基本结构！”
1979年，在纪念爱因斯坦百年寿辰演讲中，杨振宁总结了“对称性支配相互作用”总原理。 爱因斯坦开启了这一原理，从广义坐标不变性确定了未知的引力定律，即广义相对论。外尔最初试图推广广义相对论，统一引力和电磁力，后来将规范变换修改为量子力学中的相位变换，从阿贝尔规范不变性确定了电磁定律，虽然当时电磁定律是已知的。杨-米尔斯理论从非阿贝尔规范不变性确定未知的新的相互作用定律。 杨-米尔斯理论是20世纪理论物理三个主旋律交融变奏的高潮。“规范理论成为基本粒子理论的中枢概念，并被期待在更基本的理论构造中扮演同样必要的角色，以提供普适物理定律的包容一切的图像。”
因此，“对称性支配相互作用”这一论断概况了半个多世纪理论物理主要概念性进展，并将继续为理论物理的进步提供一般性指导。我称之为物理定律的定律（Law of laws)。“对称性支配相互作用”使得基本规律别无选择，成为必然，可以被确定，消除了任意性。在深层次的规律上，美就是真，真就是美，美支配真。我们通过美确定真。当然，要通过实验检验。这是人类思想史上深刻的一笔。可谓是大美至真！1) “非阿贝尔规范场的发现打下新的知识结构基础，这个知识结构的建造花费了30年。现代理论描述，又被现代实验证实，物质的状态是非阿贝尔规范场的汤，这些规范场由杨振宁45年前发现的数学对称性聚集在一起。”
2) “杨振宁占据了外尔的位置，成为我这一代物理学家的领头鸟……杨振宁还画龙点睛地指出，爱因斯坦引力理论符合同一个框架……非阿贝尔规范场生成非平庸的李代数，场之间的相互作用形式被唯一地确定下来，因此对称性支配相互作用。这个想法是杨振宁对物理学最大的贡献。”
3) “杨-米尔斯规范场是狄拉克方程之后，理论物理最重要的发现。”
“（A）规范不变性的美和力量，以及（B）规范玻色子的质量问题。对于米尔斯和我来说，中心动机来自（A），正如我们的短摘要所表明的。至于（B），米尔斯和我探讨了各种可能性，在我们1954年的文章最后总结道：'因此我们没有得到关于b 量子的质量的任何结论。’也就是说，我们将（B）当作未来的问题。”
从非阿贝尔规范不变性得到相互作用，是杨-米尔斯理论的核心思想，是正确的。规范粒子质量问题后来得到了解决。粒子物理标准模型的成功证实了杨振宁基于美的眼光、判断和勇气。这是物理学历史的幸运。哥白尼日心说的核心思想是，所有行星绕日运动。由此自然地解释了托勒密地心说中很多奇怪的规定。这是一个大美。它的优点在于美，然而它并不比托勒密的地心说更符合观测。它也借用托勒密的方法，如偏心和本轮。日心说在对观测符合上的优势，要等到伽利略基于望远镜的发现。而基于正圆的理论缺陷，要等到开普勒的椭圆轨道来消除。但是哥白尼日心说的核心思想是正确的，其他问题后来解决。圆对称（甚至扩大为球对称）转移到深层次的牛顿引力定律，而轨道形状由于自发对称破缺而成为椭圆。这在细节上也碰巧与杨-米尔斯理论有类似。 500年前的哥白尼日心说，今天依然重要，核心思想的重要性和正确性更清楚。可以期待，杨-米尔斯理论500年后也将重要，核心思想的重要性和正确性也会更清楚。因此，杨-米尔斯理论是20世纪后半叶理论物理的最大成就，杨振宁是二十世纪后半叶最伟大的理论物理学家。 “对称性支配相互作用”原理的三位关键人物爱因斯坦、外尔、杨振宁都是戴森在普林斯顿高等研究院的同事。杨-米尔斯理论完美诠释了普林斯顿高等研究院院徽（图10）表达的理念：美即是真，真即是美 （Beauty is truth, truth beauty）
图10 普林斯顿高等研究院的院徽
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