欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，它只适用于简单多面体。常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr ，物理学公式F=fe^ka等。

基本信息

中文名：欧拉公式

外文名：Eulers formula

应用学科：数学

解释：是指以欧拉命名的诸多公式之一

发现人：欧拉

基本介绍

(Euler公式)

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。

公式介绍

复变函数

e^ix=cosx isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

欧拉公式

e^ix=cosx isinx的证明：

因为e^x=1 x/1！ x^2/2！ x^3/3! x^4/4! ……

cos x=1-x^2/2! x^4/4!-x^6/6!……

sin x=x-x^3/3! x^5/5!-x^7/7!……

在e^x的展开式中把x换成±ix.

(±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 ……

e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3! x^4/4!……

=(1-x^2/2! ……)±i(x-x^3/3!……)

所以e^±ix=cosx±isinx

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx isinx中的x取作π就得到：

恒等式

e^iπ 1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”

那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。 那么这里的π就是x，那么

e^iπ=cosπ isinπ

=-1

那么e^iπ 1=0

这个公式实际上是前面公式的一个应用。

分式

分式里的欧拉公式：

a＾r/(a-b)(a-c) b＾r/(b-c)(b-a) c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a b c三角公式

三角形中的欧拉公式：

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr拓扑学说

拓扑学里的欧拉公式：

拓扑学

V F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。初等数论

欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：

如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有

φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

利用容斥原理可以证明它。物理学

欧拉公式应用

众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：

F=fe^ka

其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。

此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

平面几何

设△ABC的外心为O，内心为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记外心、内心的距离OI为d，则有

欧拉公式

（1）式称为欧拉公式.

为了证明（1）式，我们现将它改成

欧拉公式

（2）式左边是点I对于⊙O的幂：过圆内任一点P的弦被P分成两个部分，这两个部分的乘积是一个定值，称为P关于⊙O的幂。事实上，如图3.21，如果将OI延长交圆于E、F，那么

欧拉公式

因此，设AI交⊙O于M，则

欧拉公式

因此，只需证明

欧拉公式

或写成比例式

欧拉公式

为了证明（5）式，应当寻找两个相似的三角形。一个以长IA、r为边；另一个以长2R、MI为边。前一个不难找，图3.21中的△IDA就是，D是内切圆与AC的切点。后一个也必须是直角三角形，所以一边是直径ML，另一个顶点也应当在圆上。△MBL就满足要求。

容易证明

欧拉公式

欧拉公式

因此（5）式成立，从而（1）式成立。

欧拉公式

因为

，所以由欧拉公式得出一个副产品，即

欧拉公式