大卫·多伊奇 (David Deutsch) 在他的《现实结构》(The Fabric of Reality) 一书中将符号视为自己的理论，因为符号和关系是根据符号和关系模拟它们所代表的行为的方便程度而定的。
从这个意义上说，某些形式主义在某些情况下确实比其他形式主义更有效，类似于不同的编程语言如何比另一个更适合一个目的。
认识到多伊奇的假设是正确的是微不足道的，因为历史上使用的不同数学符号确实让计算更直观、更有效。
试想一下使用罗马数字而不是阿拉伯数字进行数学计算的噩梦。
与阿拉伯数字的位置系统不同，罗马数字仅有效地表示加法和减法，今天几乎只用作装饰数字。
但对于某些任务，即使是阿拉伯数字也能胜任。13 世纪，西多会修士们发明了一种编号系统，它能够以一种巧妙的系统来表示非常大的数字。
垂直直线作为将平面分为四个象限的轴，每个象限代表四个数字之一：右上象限是单位，左上象限是十位，右下象限是百位，左下象限是百位数千。
这样，单个字符就可以表示从 1 到 9,999 的所有数字。这是一种中世纪的指数表示法，具有非常紧凑的特性，因此对于抄写大数字甚至日期很有用，但对计算毫无用处。
Brent Yorgey 发明的因式分解图是一个类似的例子，但它“专门”允许快速显示素数和数字的约数。
常用符号的补充系统，例如西多会符号或 Yorgey 的系统，很有趣，但用途总是有限的。
我发现真正有用的是形式主义，它们只改进了主要符号的一小部分，或者完全改变了它，同时保留了它的力量并扩展了它以使其更加强大和直观。
当前数学的一个有趣的补充是符号的应用，即所谓的幂三角，它以紧凑和视觉上令人满意的方式统一了指数、对数和根的（相关）概念。
一个有效的符号实际上应该显示概念之间的相关性，而在当前的符号中，一个符号用于定义根，一个词用于对数，一个词用于指数，导致混淆。
通过引入一个主要是位置的、由单个符号、三角形支持的系统，许多数学恒等式和运算突然变得更加直观。
更容易看出，当基数保持不变时，右下角的数字相乘，而顶部的数字相加，使看似随意和冗长的规则更加明显。
类似地，当顶部的数字保持不变时，底部的两个数字必须相互相乘，从而使指数和根的某些恒等式不言自明。
要在右下角的数字保持不变时进行操作，只需记住左下角的运算符乘法，而对于顶部的运算符，必须定义一个新的运算符：
除了在物理学中经常出现的优势之外，它还明确了未被提及的根和对数之间的关系，正是因为当前的符号不会自然地导致这样的结果。
还可以更清楚地直观地显示按特定顺序使用的运算符。
之所以左边的数不变，上面的数需要相加，而右边的数不变，同一个数需要新的运算，是因为关系中存在真正的不对称性在三角形的三个操作之间，即使在当前符号中也存在。
所讨论的不对称是由于反映三角形导致顶部数字的倒数这一事实。
因此，与当前符号相比，这种符号的潜力是显而易见的，它将使众所周知的数学关系更容易理解，同时解释其他不那么明显的关系。
使用更直观的符号也能够加速这些概念的获取以及更好地理解它们。
作为一个令人愉快的副作用，它使计算更紧凑、更简洁、更美观。
直到今天，许多或多或少等价的符号共存的一个领域是微积分。
例如，拉格朗日和欧拉的符号使得导数和积分是彼此的逆运算变得更加明显，而莱布尼茨发展的形式主义在某种意义上是聪明的，因为有了它，人们可以假设导数表现为简单的划分。它也是使用最广泛的，这绝非偶然。
在我看来，牛顿符号的优点在于它的优雅，而且无疑是它的紧凑性。请注意，以这种方式编写时，经典物理学方程式变得多么简洁明了。
甚至理查德·费曼也开发了自己的语言来描述三角函数，但在他死后其他人并没有使用太多。
甚至可以改进上面的符号。它们清楚地显示了主要三角函数的倒数，但无法直观地提醒我们单位圆，这与下面的符号不同，例如：
另一个值得注意的形式主义是彭罗斯的图形表示法。它允许以非常直观的方式表示标量、向量和矩阵之间的运算。
在此表示法中，主圆圈代表一个值，而每条附加线代表一个维度。
这样，没有直线的圆可以看成是零维张量或者标量，有直线的圆可以看做向量，有两条直线的圆就是矩阵，等等。
然而，有趣的是，操作自然地表示为收缩。
当线的索引具有相同的值时，它们可以连接和删除，清楚地显示在什么情况下可以执行标量积以及为什么结果恰好是零维张量，甚至为什么矩阵之间的乘法只能是如果一个的列数等于另一个的行数，则完成。
上面的许多想法可以在当前的数学中毫不费力地实现，而不会引入任何缺点。
还有更激进的提议。一个例子是因纽特人的 Inupiaq vigesimal 编号系统，我在这篇文章中对此进行了讨论，总而言之，它允许将基本的数学运算表示为几何图形的基本串联、旋转和叠加。
据说，即使是数学知识仅局限于三角学的法拉第，也用自己的语言在脑海中形象地描述了数学关系。然而，麦克斯韦将法拉第的见解转化为数学符号。
这是因为操纵形式主义和再现心理图像可以被认为是数学推理的两个方面，而后者可以说比前者更重要。最有效的形式主义恰恰是那些能够以尽可能透明的方式将两者联系起来的形式主义。
这是一个逐渐改进的过程，正如历史所证实的那样，它也导致了全新的数学分支的发展。
阿拉伯数字的使用使得发现零并将其用作数字成为可能，这是希腊数学家始终无法实现的基本步骤。
Koenigsberg 的七桥问题如果用图表示，则几乎没有什么问题，这正是 Euler 在开始拓扑学时所做的。
因此，不同符号的发展不仅仅是无用的幻想，因为它使我们能够以不同的方式看待数学关系，并瞥见新的和意想不到的关系。
结合因纽特人的视觉系统及其所有优点，例如，以 6 为底的乘法的可预测性，以及幂三角和彭罗斯符号，不仅是可能的，而且简单到几乎微不足道，而优势将是切实和立竿见影的：更好的理解、更快的学习以及更快更容易地解决数学计算的方法。
创建替代形式主义是费曼本人提倡和鼓励的事情，考虑到他的图表已成为物理学的革命性工具，这不足为奇。而且，根据费曼的说法，数学本身的进化在很大程度上只是更好符号的发展。
因此，存在许多现有的数学符号，并且在技术上可以设计出无限的数学符号。与我们不断提炼物理理论类似，寻求更好的符号，包括以前所有优点的符号，扩展和改进它们并不是徒劳的，因为这样做也意味着提高我们对世界的科学认识，并使它这些知识更容易传播和学习。
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