“重叠问题”教学设计
教学目标：
1、让学生经历探究用集合图表示两个集合关系的活动过程，理解集合图所表示的含义，学习用集合的思想方法来思考和解决实际问题。
2、让学生感受到数学与生活的密切联系，体验数学的价值。 教学过程：
一、引入。
出示：小朋友们在食堂排成一队打饭，亮亮从前面数是第5个，从后面数还是第5个，这个队一共有多少个同学？
（学生出现不同的答案：11个、12个、9个）
师：怎么有不同的答案？怎么办？
（生：计算、画图。）
教师找计算和画图的两位学生到黑板上板演，其他学生自己在练习本上解决。
生：○○○○△○○○○
师：真聪明！他还把亮亮用不同的图形来表示。一块数一数多少人。（生快数）
师：在图上找一找，从前面数的5在哪儿？圈一圈。从后面数的5在哪儿？也圈一圈。
师：你发现了什么？
生：亮亮被数了两次。
师：所以要用10-1=9，看来确实是9个人。想一想，是谁帮我们弄明白的？
生：圈
二、展开。
出示:“实验小学三年级定于下周二下午举行跳绳比赛，下周五下午举行踢毽子比赛。三年级共有3个班级，每班选7个学生参加跳绳比赛,选 5 个学生参加踢毽子比赛。三年级共有多少名学生参加了跳绳、踢毽子比赛? ”
学生默读题目，独立思考，列式计算。
全班交流：
方法一：3×7+3×5=36(人)
方法二：(7+5)× 3=36(人)
追问：有不同意见吗？肯定共有 36 人吗？
学生一致表示肯定。
（分析：学生之所以敢这么肯定，因为他们习惯于 解答“条件个个有用、答案唯一”这类问题。除了习惯性思维的影响外，更重要的是学生根本想不到有学生重复参赛。正是这道答案不唯一的开放题，让学生掉入“陷阱”。而这“陷阱”里隐含着重要的数学知识。这样的预设能激发学习兴趣，学生在自主地“爬出陷阱”的过程中思维得到锻炼，对新知识会有较深刻的理解。）
师：那好，让我们一起来看看各班参赛的学生名单!
出示表一：
三（1）班参加跳绳、踢毽子学生名单
跳绳 | 张鸣 | 王乐 | 朱丽丽 | 田柯 | 李思思 | | |
踢毽子 | 杨军 | 刘萍 | 毛婷 | 徐超 | 王欢 | 罗来 | 赵小萌 |
师：三（1）班共有几人参加比赛？
生：5+7=12（人），共有12人参加两项比赛。
显示：两个集合圈，分别表示跳绳学生和踢毽子学生
出示表二：
三（2）班参加跳绳、踢毽子学生名单
跳绳 | 杨明 | 李芳 | 刘红 | 陈东 | 张伟 | | |
踢毽子 | 杨明 | 李芳 | 于丽 | 陶伟 | 赵军 | 王志明 | 朱小东 |
师：三（2）班共有几人参加比赛？
第一个学生回答“有12人参赛”，其他学生都表示没有意见。 一阵沉默之后，班上有学生发现了问题，高举着手。这样一来，其他学生仔细地看着屏幕。 渐渐地，举手的学生越来越多，有的学生情不自禁地说：我有意见！
师：刚才大家都没有意见，现在怎么又有意见了呢？
终于，有学生不好意思地说：刚才我没看清楚，三（2）班 的杨明和李芳，两项比赛都参加了，所以共有10 人参加跳绳、踢毽子比赛。
追问：若要让人清楚地看出跳绳的、踢毽的、既跳绳又踢毽的各有哪些人，用圈怎样表示?
让学生尝试画圈。
（分析：学生很快回答“三（2）班有10人参赛，可能是由三（1）班的情况作出想当然的回答（没有仔细看名单），但也可能确实没有看清楚。于是，“若要让人清楚地看出参加跳绳的、参加踢毽的、既参加跳绳又参加踢毽的，用圈怎样表示？”成为学生自身想要解决的问题，而且是一个没有现成方法可以解决的问题。可见，教师预设问题时，要考虑学生学习中的障碍、困惑，真正使“问题”成为“属于学生自己的问题”。这样的问题才是真问题；只有真问题，才能激发学生的学习需求，才能让学生积极主动地投入解决问题的活动中去。）
学生各自独立思考着、尝试着用圈表示，出现了各种不同的想法，思维激烈地碰撞了起来——
生1：我是画了两个圈，在重复参赛的学生名字的下面画上小圆点，这样让别人能清楚地看出重复参赛的学生。
师：你们同意吗?
生：我认为有点看不太清楚，因为找小圆点也会很费劲的。
生2：我是用三个圈来表示的，你们能看懂吗?
生3：杨明、李芳都参加了两项比赛，可是，为什么在跳绳和踢毽的圈里没有他们呢？我是这样画的（上黑板前画出图），中间的是既跳绳又踢毽的学生。
师：大家还有别的意见吗?
生4：虽然能看清楚两样比赛都参加的学生，但是， 我不知道哪个圈里是跳绳的，哪个圈里是踢毽子的。
生 3又在圈上面标上了“跳绳”、“踢毽子”几个字。
大家对这个图表示赞成。
（分析：面对着“怎样用圈表示才能让人清楚地看出跳绳的、踢毽的、既跳绳又踢毽的”这样的问题，学生有着各自的想法。因此，课堂中让学生有足够的时间自由地思考，同时给学生充分表达自己想法的机会。学生既是在展示自己的方法，更是在主动地思考、寻找漏洞、提出质疑、积极建议，逐步逼近正确直至正确方法的揭示。其间，学生不仅自主地用集合圈表示出有相交关系的集合，而且在质疑、判断、比较、选择的过程中，学生的思维变得更加合乎逻辑、更加严谨、更加深刻，其批判性思维、创造能力得到培养，同时，也获得了同伴合作的快乐体验。教师注意用“你们听明白了吗？有不同意见吗？”等启发性语言鼓励学生交流，甚至激烈的思维碰撞，从而使他们撞击出智慧的火花。）
师：你们从这个图中能清楚地看出什么？
生1：跳绳的有7人，踢键的有5人， 既跳绳又踢毽的有 2 人。
生2：参加两项比赛的共有10人。
师：怎样算出来的？
生：7 + 5－2 =10（人）；7+3=10（人）；5+5=10（人）
（分析：让学生数形结合地进行观察思考，从中看到各个集合以及它们之间的关系，能较好地渗透集合思想，同时进行发散性思维，用集合的思想分析解决实际问题。）
出示表三：
三（3）班参加跳绳、踢毽子比赛的学生名单
跳绳 | 丁力 | 李梦 | 赵亮 | 周舟 | 王龙 | | |
踢毽子 | 徐松 | 赵亮 | 刘洋 | 周舟 | 王龙 | 丁力 | 李梦 |
师：三（3）班有多少人参加比赛呢？
生：7人
师：怎样用圈表示能让人清楚地看出哪些人是既跳绳又踢毽的？
学生独立思考画圈后，全班交流。
师：跳绳的 5 人又都参加了踢毽子比赛，所以，他们都应该进入踢毽子的圈内。
（分析:对于有相交关系的两个集合用图表示，对学生来说比较容易。而有着包含关系的两个集合，让学生自己做出正确的表示是有一定困难的。教师在预设时，必须从学生这一实际出发，把握好“度”，但必须让学生也先进行独立思考，当他们感受到困惑时教师再出示，这样学生才会有较深的体验和理解。） 师：现在你能知道三年级共有多少学生参加了比赛吗？
生1：12+10+7=29（人）。
生2：36－2－5=29（人）。
追问：那开始时，你们为什么都认为三年级一共有 36 人参加比赛？
生 1：开始时，题目没有说有学生是重复参赛的，所以，一共有36 人参赛。
师：那开始时题目也没有说没有重复参赛的呀？你凭什么肯定没有重复的呢？你的说法有些不讲道理哟。
生2：应该说三年级有可能有 36 人参赛。
师：这算是讲道理的。除了有可能 36 人参赛，还有哪些可能呢？有学生回答:35、34、33，接着便自发地齐答:32、31、30、……22、21、20……
师：最多可能是 36 人，那么，最少可能是多少人呢？为什么？请课后思考吧!
（分析:教师对三个班参赛情况的精心预设，让学生对集合间并列、交叉、包含关系有整体认识，有助于建立完整的认知结构。通过追问：“开始时，你们为什么都认为三年级一共有36人参加比赛”，引导学生对自己的思维过程进行反思，这种反思活动不仅使学生考虑问题更加严密，而且有助于学有余力学生的思维更上一个层次。而“最少可能是多少人呢？”，正确的答案其实已是呼之欲出，但没有揭晓，是想让学生带着悬念、带着兴趣走出课堂，在心中保留那份深入探究的欲望。）
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