学者的墨水比殉教者的血水更为神圣。——伊斯兰先知穆罕默德
一、阿拉伯人
迄今为止，阿拉伯人在数学上的作用是给予亚历山大文明最后一击。但又在保存古希腊罗马文化、并将其重新介绍给西欧方面，起到了至关重要的作用。
他们在开始征战各地以前是住在现今阿拉伯半岛的游牧民族。他们在穆罕默德的鼓舞下行动和统一起来，并在他死后（632年）不到半个世纪内征服了从印度到西班牙的大片土地，包括北部非洲和南意大利。755年，阿拉伯帝国分裂为两个独立王国，东部王国以巴格达（Baghdad）为首都，西部王国以西班牙的科尔多瓦（Cordova）为首都。
征战完成之后这批早先的游牧者就定居下来创造他们的文明与文化了。他们相当快地关心起艺术和科学。东西方的两个首都都吸引科学家并支持他们的工作，而巴格达是较大的文化中心；他们在那里设立了一个学院、一个图书馆和一个天文观察台。
巴格达古城复原图
阿拉伯人延请印度科学家住到巴格达。当查士丁尼于529年封闭柏拉图的学院时，许多希腊学者跑到波斯，使希腊学术于1个世纪后也成为阿拉伯世界的一部分文化。阿拉伯人也同独立的拜占庭（东罗马）帝国的希腊人建立了联系；事实上阿拉伯回教君王也从拜占庭收买过希腊手稿。埃及被阿拉伯人征服后，留存在那里的学术成为阿拉伯帝国学术的一部分。叙利亚学派所在地安蒂奥克（Antioch）、依米撒（Emesa）、大马士革，以及基督教景教派所在地以得撒（Edessa，自640年亚历山大城被毁后近东收藏希腊著作的主要地方），甚至于藏有这些著作的近东修道院都归阿拉伯人统治。于是阿拉伯人就能控制或取得拜占庭帝国、埃及、叙利亚、波斯以及往东远及印度诸国的人才和文化。
我们说到阿拉伯数学，主要因为这些著作的文字是阿拉伯文。但大多数学者却是希腊人、波斯人、犹太人和基督徒。不过阿拉伯人值得赞扬之处是在其充满宗教狂热的征服期之后，他们对别的种族和教派是宽大的，并容许异教徒自由活动。比利时历史学家亨利·皮朗在《穆罕默德与查理曼》一书中写道：“（阿拉伯的对外征服）并不是要求所有人都皈依伊斯兰教，而只是要求人们必须对安拉表示臣服而已。征服之后，这些穆斯林都把异教徒的科学和艺术作为他们战利品中最为宝贵的财富。他们将这些科学、艺术与安拉的荣耀连接起来。只要感到对自己有利，他们甚至还广泛采用那些不信奉伊斯兰教者的各种制度法规。”
从根本上说，阿拉伯人的学术是直接来自希腊手稿或叙利亚与希伯来文译本的。他们在800年左右从拜占庭获得一部欧几里得《几何原本》抄件并把它译成阿拉伯文。托勒密的《数学汇编》是在827年译成阿拉伯文的，以后成了他们一本重要的几乎是神圣的书；这书以后称为《至大论》，意即最大的著作。他们又译出了托勒密的《四书》，使这本占星术的著作在他们那里流行一时。在不多的时间内，亚里士多德、阿波罗尼斯、阿基米德、海伦、丢番图和印度人的著作都有了阿拉伯文译本。阿拉伯人其后又改进译文并加以评注。后来传给欧洲的就是这些译本（有的至今仍存），而希腊原著则已失传。阿拉伯文明直到1300年还充满活力，它的学术传播四方。
二、阿拉伯的算术和代数
当阿拉伯人还是游牧民族时，他们有称呼数的文字但无记号。他们采用并改进了印度的数字记号和进位记法。在天文上仿效托勒密用60进位制的分数。
阿拉伯人也像印度人那样随便使用无理数。事实上，海亚姆（Omar Khayyam，1048？—1122）和纳西尔丁（Nasîr-Eddin，1201—1274）明确地说，不管是可公度的或不可公度的量之比都可称之为数，这种说法牛顿1707年在他的《普遍的算术Universal Arithmetic》一书中仍感到有必要加以重申。
在算术上阿拉伯人倒退了一步。他们虽然通过印度人的著作熟悉负数以及负数的运算，但他们摈弃了负数。
在代数方面阿拉伯人的第一个贡献是提供了这门学科的名称。西文algebra这个字来源于830年天文学者阿尔花拉子米（Mohammed ibn Musa al-Khowârizmî，约825年）所著的一本书《Hisab al-jabr wa'l-muqabalah》。al-jabr的原意是“复原”，指在方程的一边去掉一项就必须在另一边加上这一项使之恢复平衡。wa'l-muqabalah意即“化简”，或从方程两边消掉相同的项。（现在常用的译名是《对消与还原》。）
阿尔花拉子米
此书分三部分，第一部分是关于一次、二次方程的解法，其中首次给出二次方程的一般解法，并给出相应的几何证明，以保证解法的正确性。这一部分在12世纪被单独译成拉丁文，且有两个不同的译本，在欧洲一直流行到16世纪。此书的书名后来也衍变成algebra，译成中文为“代数”。书的另外两部分分别为实用测量术和遗产计算问题。
阿尔花拉子米的代数是根据婆罗摩笈多的著作写的，做的有些运算和丢番图做的完全一样。例如，碰到含有几个未知量的若干个方程时，就把它化到只含一个未知量然后求解。阿尔花拉子米把未知量的平方称为“乘幂”（power），这也是丢番图的用语。他称未知量为“东西”或（植物的）“根”，从而把解未知量叫求根。
阿拉伯人虽然给出二次方程的代数解法，但他们是从几何上来解释或确认他们的算法步骤的。例如解x²+10x=39的几何方法：
阿拉伯人也用代数方法解出一些三次方程，然后作出几何解释。例如巴格达的异教徒塔比特·伊本·科拉（Tâbit ibn Qorra，836—901，此人又是医生、哲学家和天文学家）和埃及人al-Hasan ibn al-Haitham——通常以阿尔哈森（Alhazen，约965—1039）知名于世——都是这样做的。至于一般三次方程，则海亚姆认为只有从几何上用圆锥曲线才能解。我们来考察他所解的一个比较简单的情形x³+Bx=C（B与C都是正数），以说明在他的《代数》（Algebra）（约1079）中所用的方法。
海亚姆把这方程写成x³+b²x=b²c，这里b²=B，b²c=C。作一个正焦弦为b的抛物线（上图），在长度为c的直径QR上作半圆。于是抛物线与半圆的交点P就定出垂线PS，而QS便是三次方程的解。
海亚姆又解出x³+ax²=c³这种类型的方程，它的根是用一双曲线和一抛物线的交点定出的。还解出了x³±ax²+b²x=b²c这种类型的方程，它的根是用一椭圆和一双曲线的交点定出的。他还解出一个四次方程（100-x²）（10-x）²=8100，它的根是用一双曲线和一圆的交点定出的。他只给出了正根。
奥马尔·海亚姆
用圆锥曲线相交来解三次方程是阿拉伯人在代数上推进的一大步。
阿拉伯人也解出了二次和三次的不定方程。有几个学者陈述了并打算证明x³+y³=z³没有正整数解。他们也给出了头n个自然数的一次、二次、三次和四次幂之和。
三、阿拉伯的几何与三角
阿拉伯几何主要受欧几里得、阿基米德和海伦的影响。阿拉伯人对欧几里得的《原本》作过评注，这是很使人惊异的事，因为这说明他们还是欣赏数学的严格性的，尽管他们在代数上通常是不管这个的。
阿拉伯天文学家引入了我们今天所说的正切和余切，这两个比可以在阿尔巴塔尼的著作中找到。阿布尔韦法在一本天文著作中引入了正割和余割。他又算出了相差10分的每个角的正弦和正切数字表。阿尔比鲁尼给出了平面三角形的正弦定理并作出一个证明。
平面三角和球面三角的系统化是由纳西尔丁在他的一本独立于天文的著作《论四边形Treatise on the Quadrilateral》中作出的。这书含有解球面直角三角形的六个基本公式，并指出如何用现今所谓的极三角形来解更一般的三角形。可惜欧洲人直到1450年左右才知道纳西尔丁的著作。
阿拉伯人的科学工作虽然没有首创精神，但是涉及范围很广。他们注重天文学，使他们能够知道祈祷的准确时间，使广大帝国内的阿拉伯人在祈祷时能面朝麦加。他们充实了天文数字表、改进了仪器、修造并启用观察台。和印度一样，几乎所有数学家主要都是天文学家。占星术在刺激天文学从而刺激数学工作方面也起了很大作用。
阿拉伯人所研究的另一门科学是光学。物理学家兼数学家伊本·海赛姆写的一本巨著《光学集锦Kitab al-manazer》曾产生巨大的影响。书中陈述了完整的反射定律，包括入射线、反射线以及反射面的法线三者在同一平面的事实。但和托勒密一样，他未能得出关于折射角的定律。他还论述了球面和抛物面反射镜、透镜、暗箱和视象。光学是阿拉伯人所喜爱的一门学问，因它可提供玄奥和神秘的思想。
伊本海赛姆（现代光学之父）
阿拉伯人钻研数学主要是为推进他们所从事的几门科学，而不是为了数学本身。他们也不搞为科学而研究科学的事。他们对希腊人为了弄懂自然界的数学设计或对中世纪欧洲人为了领悟上帝之道这种目标是不感兴趣的。阿拉伯人的目标在科学史上与前不同，他们是为支配自然界而从事科学研究。他们认为可以通过炼金术、魔术和占星术获得这种支配权力。这种目标其后也未那些能够分辨真假并在做法上更深刻更审慎的思想家所采纳。
阿拉伯人的工作在1000年之际达到顶点。在1100至1300年间，基督徒十字军的打击削弱了东部阿拉伯人。其后他们所居土地被蒙古人蹂躏侵占，到1258年之后巴格达的回教国君已不复存在。在帖木儿（Tamerlane）率领下的鞑靼人的进一步破坏又把阿拉伯文明摧毁殆尽，尽管鞑靼入侵后那里还做了一星半点数学工作。西班牙的阿拉伯人在1492年被基督徒征服，这就使该地区的数学和科学活动告一终结。
四、1300年左右的数学
印度人和阿拉伯人对数学的内容和性质作了一些变革，他们的工作使代数重新立足于它所应有的基础上，并且推进了代数技巧。三角学有新的进展，并脱离天文学而独立成一门用途更广的科学。承认有理数之后，就可以用数表示长度、面积和体积。用代数方法解方程然后用几何图形说明所做步骤的合理，这种做法展示了代数与几何的并行不悖。这种并行性的进一步充分发扬便导致解析几何的产生。
最有意思的事也许就是印度人和阿拉伯人对于数学有自相矛盾的想法。他们在算术和代数里都随便作运算而根本没有想到要作证明。埃及人和巴比伦人依据经验而满足于他们的那一点点算术和几何法则是不足为奇的，因为人类几乎所有的知识都是以经验为天然依据的。但印度人和阿拉伯人懂得希腊人揭示的对于数学证明的那种全然新颖的想法。印度人的做法是颇有道理可讲的；他们虽也确实知道一些希腊古典著作，但他们对此并不看重。不过他们何以只重视一门数学而忽视另一门数学，这也引起人们的疑问。而阿拉伯人则是充分了解希腊几何的，他们甚至对欧几里得和其他作家的著述作过批判性研究，而且在长达数世纪的期间曾存在有利于纯科学研究的条件，数学家无需被迫作出眼前实践上有用的结果而牺牲证明。这两个民族怎么会以这样迥异于希腊人的态度来对待这两门数学呢？
有许多可能的答案。这两种文明总的说来都是缺乏批判精神的，因此他们可能满足于传给他们的数学的现状；就是说，几何是讲究演绎的，而算术和代数则可以依据经验或直观启示。第二种可能的答案是：这两个民族——更可能的是阿拉伯人——认识到几何相对于算术和代数而言具有极不相同的标准，但想不出用什么办法来给算术提供逻辑基础。有一件事实似可说明这种解释的合理，即阿拉伯人在解释它们对二次方程的解法时想给出几何根据。
还可以有其他种种解释。印度人和阿拉伯人都喜欢研究算术、代数以及三角关系的代数式和运算。这种偏爱可能说明不同的心智状态，或者可能反映了不同文明的不同需求。这两种文明都是偏重实际的，实际需要要求提供数量结果，而这就得用算术和代数来求出。而有利于心智状态不同之说的一点事实是：欧洲人也继承了同印度人和阿拉伯人一样的数学遗产，但他们的反应却很不一样。我们以后就会看到，欧洲人对算术和几何有不同的基础是伤过很多脑筋的。
印度人和阿拉伯人体会到算术和代数的基础是不可靠的，不过他们胆子大（更由于实际需要），敢于进一步发展这两门学科。他们采纳了做数学创新工作时所能采纳的唯一道路。新思想只有在自由和勇敢的直观启发下才能产生。逻辑说理和补救方法（如果需要补救的话）只有在具备了可供逻辑说理的东西后才能起作用。印度人和阿拉伯人的闯劲把算术和代数又一次提高到几乎和几何并驾齐驱的地位。
于此就确立了数学的两种独立的传统或概念：一种是希腊人所树立的那套逻辑演绎知识，其更大的目的是了解自然；另一种是源于经验为求实用的数学，它由埃及人和巴比伦人打下基础，为一些亚历山大的希腊数学家所重新拣起，而为印度人和阿拉伯人所进一步推广。前者重视几何，后者重视算术与代数。这两种传统和两种目标此后继续起作用。
下一讲欧洲中世纪时期。
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