立体几何：2019年高考全国卷理科数学最后一道选择题？

已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为？

原图

高考考试不仅要掌握基础知识，还要有灵活的思维，更要制定做题战术。作为基础部分的题，最后一道选择题和最后一道填空题必须拿到分。

因为∠CEF=90°可得→EF·→EC=0

以F点建立空间直角坐标系：

建立空间直角坐标系

设E点z坐标值为a，可得：点F坐标（0，0，0），点坐标C（√3，0，0），点E坐标（1/2√3，1/2，a）。

易得：→EF=（1/2√3，1/2，a），→EC=（﹣5/2√3，1/2，a）。

由于→EF·→EC=0，得﹣5/12+1/4+a²=0，即a=1/√6

求出MC

令球心O在△ABC的垂直投影为点M，M即为正△ABC的中心。

因为E点z坐标值为a，那么F点的z坐标值为2a，即MF=2a。

图1可得OM=MP－r（球半径OP）即OM=2a－r

图2易得MC=2/√3

求出球体积V

因为OP=OC=r，根据勾股定理可得：r²=OM²+MC²=（2a－r）²+4/3

将a=1/√6代入，解得：r=√6/2

可得球体积为V=4πr³/3=√6π。