初中数学：一招搞定函数背景下的面积最值问题

函数背景下的面积最值问题，不管是三角形还是四边形，统一解决的方法是：列出函数关系式，根据函数增减性求出最值。这一招是通用的解题思路，区别只是求函数解析式时，所用的的方法略有不同，具体如下：

以上3种情况，第一种是基础性的常规问题，后两种常作为中考考点出现，其中，第二种求三角形面积的公式，也可以记作：水平宽×竖直高.

下面结合例题详细说明。

【典例1】

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 P、Q两点（点 P在点Q的左侧），连接 PQ，在线段 PQ上方抛物线上有一动点 D，连接 DP、DQ.

（Ⅰ）若点P的横坐标为 -1/2，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

本题详细解答如下：

【方法总结】坐标背景下经常要根据点的坐标表示出某个线段的长度，若是水平方向的就是“右减左”；若是竖直方向的就是“上减下”，比如题中求竖直方向线段DE的长度，就是点D的纵坐标减去点E的纵坐标。另外，先表示出函数的表达式，再利用函数的增减性求最值，除了可以解决三角形的面积最值外，还可以求解线段长、三角形或者四边形的周长最值。

【典例2】

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由.

【方法总结】要求△BCD面积的最大值，观察发现，S△BCD不容易利用底×高求出．过点D作x轴的垂线交BC于H，将△BCD分成两部分，利用S△BCD＝S△CDH＋S△BDH，其中将DH作为底边，由于高的和为定值，即求线段DH的最大值.

【配套练习】

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；

(3)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QD∥AC，交BC于点D，连接CQ. 当△CQD的面积最大时，求点Q的坐标．

答案：