在第一节里,我们讨论了数列的一些知识点。在数列中,每一项的值都与 n 有关,而 n 是一切正整数的集合 (1, 2, 3, ... , n ... )。
数列
自然而然地,如果将 n 的范围扩大到 x轴上的任意数时,我们就可以来讨论函数了。
函数
在讨论函数极限的时候,基本上都是使用 “ε-δ”的方法。而极限也是通过“ε-δ”方法定义的。
函数极限定义(一)
对于初学高等数学的同学来说,“ε-δ”方法求证函数极限是非常艰涩难懂的,需要很多题目的练习才能熟练运用。便于大家立即“ε-δ”方法,特意做了一个动图去解释一下。
图1:“ε-δ”方法
如图1所示,“ε-δ”方法的过程:
ε;
|f(x) - A| < ε
和f(x)
的定义求得x
与ε
的关系。
x
与ε
的关系去推导出δ。
图2:左右极限相等
如图2所示,在曲线上存在点A,点B和C分别从点A的右侧和左侧不断向点A逼近。
如果我们将点A强行分成A-(A点左边)和 A+ (A点右边)。那么,点C不断逼近 A-,而点B不断逼近 A+。
因此,我们就定义 A- 为函数在点A的左极限,而 A+为函数在点A的右极限。而图2 正好是左极限A- 和右极限 A+相等。
图3:左右极限不等
图3中的函数是一个分段函数,表达式如下所示。
图3中函数
点C从 x = 1的左侧不断逼近点A,A点即为函数的左极限;
点D从 x = 1的右侧不断逼近点B,B点即为函数的右极限;
大家应该发现了,在图3的情况下,左、右极限都存在,但是不相等。
定理:函数在 点a 处存在极限 limf(x) = A 的充分必要条件是点A处同时存在左、右极限,且左、右极限都等于A。
前面我们讨论了 x 趋向某一点时的极限问题,如果 x 的绝对值无限增大,那么这种情况的极限又是什么呢?
图4:无穷大处极限
在图4的函数 f(x) = 1/x 中,点A和B分别向 x轴 +∞ 和 -∞ 方向运动。同时,我们看到点A和B不断逼近 x轴。由此,我们可以得出以下结论:
和大家一起回顾了函数的极限问题。对于怎么求函数的极限,我们会在后续的文章中一一给出讲解,大家先将极限的知识给理解通透了即可。
这一节讲了一些微积分前的热身知识,主要涉及函数极限问题。
下一节我们会主要讲解 两个极限存在准则:夹逼定理和单调有界原理,以及两个重要的极限。
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