(2018·河北·15题·2分)如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为( )
A.4.5 B.4 C.3 D.2
根据题中条件“点I为△ABC的内心”,所以点I是△ABC三条角平分线的交点,因此需要连接AI,BI,再根据平移可知AC∥DI,BC∥EI,然后根据角平分线的定义和平行线的性质,得出有关的角相等,再由等角对等边得到AD=DI,BE=EI,从而求出阴影部分的周长.
【解答过程】
解:如图,连接AI,BI,
∵点I为△ABC的内心,
∴AI平分∠CAB,
∴∠CAI=∠BAI,
又由平移可得:AC∥DI,
∴∠CAI=∠AID,
∴∠BAI=∠AID,
∴AD=DI,
同理可得:BE=EI,
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,
即图中阴影部分的周长为4,故本题选B.
本题考查了三角形的内心、角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识,熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键.本题以平移为背景,将以上知识巧妙的交汇在一起进行了考查,突出考查了几何直观和逻辑推理能力.
本题除了用到角平分线的定义和平行线的性质之外,最主要考查了两个重要的知识,一是三角形的内心,二是图形平移的性质.
与三角形的内心有关的知识:
(1)三角形内切圆的有关概念:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.
(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形.
(3)三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.
(4)在遇到有关三角形内心的问题时,经常连接内心与三角形顶点,然后利用角平分线去解决有关角度的问题.
与图形的平移有关的知识:
(1)平移的条件:需要知道平移的方向和平移的距离.
(2)平移的性质:
①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同(全等).
②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
此外,本题图形中还考查了一个常用的几何图形的基本模型,即“角平分线+平行线”型图形.如图,本题中AC∥DI,AI平分∠CAD,则有∠CAI=∠DAI=∠AID,AD=DI.
其图形的基本模型为:
∵AB∥CD,CB平分∠ACD,
∴∠1=∠2=∠3,AB=AC.
因此在解决有关问题中,善于从较为复杂的图形中发展这样的基本图形,就可以更加快捷准确的抓住问题的关键加以解决,可以大大提高解题的效率和准确率.
〖习题1〗如图,在△ABC中,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC,∠ACB的平分线分别交DE于点E,D,若AC=3,AB=4,则DE的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解:由分析得:∠EBC=∠ABE,∠ACD=∠DCB;
根据平行线的性质得:∠DCB=∠CDE,∠EBC=∠BED;
所以∠ADC=∠ACD,∠ABE=∠AEB,则AD=AC,AB=AE;
所以DE=AD+AE=AB+AC=3+4=7;故选B.
〖习题2〗如图将△ABC沿着直线DE折叠,点A恰好与△ABC的内心I重合,若∠DIB+∠EIC=195°,则∠BAC的大小是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
解:∵I是△ABC的内心,
∴∠IBC=1/2∠ABC,∠ICB= 1/2∠BCA,
∵∠DIB+∠EIC=195°,
∴∠DIE+∠BIC=165°,
由折叠过程知∠BAC=∠DIE,
∴∠BAC+∠BIC=165°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC,
∴∠IBC+∠ICB=90°﹣1/2 ∠BAC,
又∵∠BIC+(∠IBC+∠ICB)=180°,
∠BIC+(90°﹣ 1/2∠BAC)=180°,
∴∠BIC=90°+ 1/2 ∠BAC,
∴∠BAC+90°+ 1/2 ∠BAC=165°,
∴∠BAC=50°,故选B.
〖习题3〗如图,I是△ABC的内心,且AB+BI=AC.若∠ABC=82°,则∠BAC的度数为( )
A.41° B.52° C.57° D.68°
解:如图,在AC上取AD=AB,连接ID,IC,
∵IA平分∠BAC,
∴∠BAI=∠DAI,
在△ABI和△ADI中,因为:
∴△ABI≌△ADI,∴ID=IB,∠ADI=∠ABI= 1/2 ∠ABC=41°,
∵AD+CD=AC,AB+BI=AC,∴CD=IB,
∴ID=CD,则∠DCI=∠DIC,
又∵IC平分∠ACB,
∴∠BCI=∠DCI=∠DIC,
∴ID∥BC,
∴∠ACB=∠ADI=41°,
在△ABC中,
∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB
=180°﹣82°﹣41°=57°,
故选C.
欢迎持续关注本头条号:“精准备考初中数学”。谢谢大家的支持与帮助~~
请大家点击左下方的链接“了解更多”,观看本篇的同步“视频微课-中考真题讲解”,方便、清晰、易懂!
会做会听,看懂听懂,冲刺高分!
联系客服