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肖博数学小题专练·(一) 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1.(2017·浙江高考)已知集合 P={x|-1
那么 P∪Q=( )
A.(-1,2) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(1,2)
答案 A
解析 取 P,Q 的所有元素,得 P∪Q=(-1,2)。
2.(2017·天津高考)设集合 A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-
1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2} B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
答案 B
解析 由题意知 A∪B={1,2,4,6},∴(A∪B)∩C={1,2,4}。故选
B。
3.(2017·江西南昌一模)已知全集 U=R,集合 A={x|y=lgx},
集合 B={y|y= x+1},那么 A∩(∁UB)=( )
A.∅ B.(0,1]
C.(0,1) D.(1,+∞)
答案 C
解析 由题知,A={x|y=lgx}={x|x>0}=(0,+∞),B={y|y= x
+1}={y|y≥1}=[1,+∞),所以 A∩(∁UB)=(0,+∞)∩(-∞,1)
=(0,1)。
4.(2017·广东惠州调研考试)已知全集 U=R,集合 A=
{1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( )
2
A.{0,1,2} B.{0,1}
C.{1,2} D.{1}
答案 D
解析 ∵A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},∴∁UB=∁RB={x∈
R|x<2},图中阴影为 A∩(∁UB)={1},故选 D。
5.命题“∃x0≤0,x
2
0≥0”的否定是( )
A.∀x≤0,x
2<0 B.∀x≤0,x
2≥0
C.∃x0>0,x
2
0>0 D.∃x0<0,x
2
0≤0
答案 A
解析 特称命题的否定是将存在量词改成全称量词,再将结论否
定,故选 A。
6.“x>0”是“x
2+x>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由 x
2+x>0,得 x>0 或 x<-1,故“x>0”是“x
2+x>0”的充
分不必要条件。
7.(2017·石家庄质量检测(二))在△ABC 中,角 A,B,C 的对边
分别为 a,b,c,则“sinA>sinB”是“a>b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
3
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解 析 设 △ ABC 外 接 圆 的 半 径 为 R , 若 sinA>sinB , 则
2RsinA>2RsinB,即 a>b;若 a>b,则 a
2R
>
b
2R,即 sinA>sinB,所以在△
ABC 中,“sinA>sinB”是“a>b”的充要条件,故选 C。
8.(2017·广东惠州调研考试)设函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|
是偶函数”是“y=f(x)的图象关于原点对称”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设 f(x)=x
2,y=|f(x)|是偶函数,但是不能推出 y=f(x)的图
象关于原点对称。反之,若 y=f(x)的图象关于原点对称,则 y=f(x)
是奇函数,这时 y=|f(x)|是偶函数,故选 C。
9.(2017·天津高考)设 θ∈R,则“
θ-
π
12 <
π
12”是“sinθ<
1
2”的
( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由
θ-
π
12 <
π
12,得 0<θ<
π
6。由 0<θ<
π
6,可得 0
1
2。因
为 sinθ<
1
2,所以-7
6
π+2kπ<θ<2kπ+
π
6,k∈Z,推不出 0<θ<
π
6,所以
4
“
θ-
π
12 <
π
12”是“sinθ<
1
2”的充分而不必要条件。故选 A。
10.(2017·九江一模)已知函数 f(x)=
2
x,x<0,
m-x
2,x≥0,
给出下列
两个命题:命题 p:∃m∈(-∞,0),方程 f(x)=0 有实数解;命题 q:
当 m=
1
4时,f(f(-1))=0,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈 p)∧q
C.p∧(綈 q) D.(綈 p)∧(綈 q)
答案 B
解析 ∵函数 f(x)=
2
x,x<0,
m-x
2,x≥0,
当 x<0 时,f(x)=2
x∈(0,1),
不存在满足 f(x)=0 的 x 值;当 x≥0 时,f(x)=0,即 m=x
2∈[0,+
∞),故命题 p 为假命题。当 m=
1
4时,f(f(-1))=f
1
2 =0,∴命题 q 为
真命题,故命题 p∧q,p∧(綈 q),(綈 p)∧(綈 q)均为假命题,(綈 p)∧q
为真命题,故选 B。
11.(2017·湖北七市联考)已知圆 C:(x-1)2+y
2=r
2
(r>0)。设条
件 p:0
距离为 1,则 p 是 q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 圆 C:(x-1)2+y
2=r
2的圆心(1,0)到直线 x- 3y+3=0 的
5
距离 d=
|1- 3×0+3|
1
2+( 3)
2
=2。当 0
点到直线的距离为 1;当 r=1 时,直线与圆相离,圆上只有 1 个点到
直线的距离为 1;当 1
直线的距离为 1;当 r=2 时,直线与圆相切,此时圆上有 2 个点到直
线的距离为 1;当 2
线的距离为 1。综上,当 0
y+3=0 的距离为 1,由圆 C 上至多有 2 个点到直线 x- 3y+3=0
的距离为 1,可得 0
12.(2017·长望浏宁联考)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于
任意实数对(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使 x1x2+y1y2=0 成立,则
称集合 M 是“垂直对点集”。 给出下列四个集 合: ①M=
(x,y)|y=
1
x
2 ;②M={(x,y)|y=sinx+1};③M={(x,y)|y=2
x-2};
④M={(x,y)|y=log2x}。其中是“垂直对点集”的序号是( )
A.②③④ B.①②④
C.①③④ D.①②③
答案 D
解析 根据题意,若集合 M={(x,y)|y=f(x)}满足对任意实数对
A(x1,y1)∈M,存在 B(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,可得OA→
⊥OB→,所以若 M 是垂直对点集,那么在 M 图象上任取一点 A,过原
点与直线 OA 垂直的直线 OB 总与函数图象相交于点 B。①中:y=
1
x
2
图象在一、二象限,关于 y 轴对称,所以对于任意点 A,都存在点 B,
使 OB⊥OA,①符合题意;②中,y=sinx+1,画图象可知,必有 OB
6
⊥OA,②符合题意;③中,y=2
x-2,过点(0,-1),图象两边无限
延展,由图象分析可知必有 OB⊥OA;④中,对于函数 y=log2x,取
函数图象与 x 轴的交点(1,0)为 A 点,则过原点与 OA 垂直的直线为 y
轴,由 y=log2x 的性质可知,函数图象与 y 轴无交点,即不存在 B 点,
使得OA→ ⊥OB→,故④不符合题意,故选 D。
二、填空题
13.(2017·江苏高考)已知集合 A={1,2},B={a,a
2+3}。若 A∩B
={1},则实数 a 的值为________。
答案 1
解析 因为 a
2+3≥3,所以由 A∩B={1}得 a=1,即实数 a 的
值为 1。
14.设命题 p:∀a>0,a≠1,函数 f(x)=a
x-x-a 有零点,则綈
p:_______________________________________________________。
答案 ∃a0>0,a0≠1,函数 f(x)=a
x
0-x-a0没有零点
解析 全称命题的否定为特称命题,綈 p:∃a0>0,a0≠1,函数
f(x)=a
x
0-x-a0没有零点。
15.已知命题 p:∀x∈R,x
2-a≥0,命题 q:∃x0∈R,x
2
0+2ax0
+2-a=0。若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围为
________。
答案 (-∞,-2]
解析 由已知条件可知p 和q均为真命题,由命题p为真得a≤0,
由命题 q 为真得 a≤-2 或 a≥1,所以 a≤-2。
16.给出下列四个命题:
①命题“∀x∈R,cosx>0”的否定是“∃x0∈R,cosx0≤0”;
7
②若 0
2+a
x-3 只有一个零点;
③函数 y=2 2sinxcosx 在
-
π
4,
π
4 上是单调递减函数;
④若 lga+lgb=lg(a+b),则 a+b 的最小值为 4。
其中真命题的序号是________。
答案 ①④
解析 由全称命题的否定是特称命题知①为真命题。在同一直角
坐标系内作出 y=3-x
2,y=a
x
(0
数图象有两个交点,故②为假命题。由 y=2 2sinxcosx= 2sin2x,又
x∈
-
π
4,
π
4 时,2x∈
-
π
2,
π
2 ,故 y=2 2sinxcosx 在
-
π
4,
π
4 上是增
函数,因此③为假命题。④中由 lga+lgb=lg(a+b)知,ab=a+b 且
a>0,b>0。又 ab≤
a+b
2
2,所以令 a+b=t(t>0),则 4t≤t
2,即 t≥4,
因此④为真命题。
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