有一道全国数学竞赛题:
设a、b、c、d互不相等,且a+1/b=b+1/c=c+1/d=d+1/a=x,求x的值.
分析:已知条件等式十分和谐,看一眼就令人难以忘怀.可是如何求解x的值却令人望而生畏,大伤脑筋.下面我们先来考虑由此题演变出来的两个比较简单的问题:
(1)设a≠b,且a+1/b=b+1/a=x,求x的值;
(2)设a、b、c互不相等,且a+1/b=b+1/c=c+1/a=x,求x的值.
问题(1)给出的等式事实上是a、b的等量关系,加入x后事实上是关于a、b、x三个未知数的两个方程组成的方程组:
a+1/b=x………①
b+1/a=x………②
由于方程的个数比未知数的个数少,所以想消去a、b把方程组转化为只含有x的方程是不可能的.但只消去a或b是易如反掌的事.比如消去b,只需要:
由②,得:b=x-1/a=(ax-1)/a,
所以1/b=a/(ax-1),代入①,得
a+a/(ax-1)=x,
去分母,得:a(ax-1)+a=x(ax-1),
整理,得:
ax^2-a^2x-x=0,
所以x(ax-a^2-1)=0,
所以x=0或ax-a^2-1=0.
如果ax-a^2-1=0,则ax=a^2+1,
x=a+1/a,代入①,得
a+1/b=a+1/a,
整理,得a=b,
但a≠b,所以x≠a+1/a.
综上,x=0.
可见,问题(1)解答并不难,关键抓住解多元问题的基本思想——消元.
有了解答问题(1)的经验,解答问题(2)我们自然会马上想到了类似的解法.
解:把已知条件写成如下方程组:
a+1/b=x………①
b+1/c=x………②
c+1/a=x………③
由①,得:1/b=x-a,
所以b=1/(x-a);
由③,得:c=x-1/a=(ax-1)/a,
所以1/c=a/(ax-1),
把b、c代入②,得:
1/(x-a)+a/(ax-1)=x,
去分母,得:ax-1+a(x-a)=x(x-a)(ax-1),
去括号,移项,合并同类项,并整理为关于a的降幂排列,得:
(x^2-1)a^2+(x-x^3)a+x^2-1=0,
(x^2-1)a^2-x(x^2-1)a+(x^2-1)=0,
所以(x^2-1)(a^2-ax+1)=0
所以x^2-1=0,或a^2-ax+1=0.
如果x^2-1=0,则
x^2=1,x=±1.
如果a^2-ax+1=0,则
ax=a^2+1,
所以x=a+1/a,代入①,得
a+1/b=a+1/a,a=b,与题意不合,
所以x≠a+1/a;
综上,x的值为±1.
有了上述的经验与方法,问题的解答便水到渠成.
解:把已知等式化为如下方程组:
a+1/b=x………①
b+1/c=x………②
c+1/d=x………③
d+1/a=x………④
由①,得:1/b=x-a,
所以b=1/(x-a),代入②,得:
1/(x-a)+1/c=x,
所以1/c=x-1/(x-a)………⑤
由④,得d=x-1/a=(ax-1)/a,
所以1/d=a/(ax-1),代入③,得:
c+a/(ax-1)=x,
所以c=x-a/(ax-1)……⑥
⑤×⑥,得:
1/c·c=[ x-1/(x-a)][x-a/(ax-1)],
两边乘以(x-a)(ax-1),去分母,得:
(x-a)(ax-1)=[x(x-a)-1][x(ax-1)-a],
去括号,移项、合并同类项,并整理为按a降幂排列,得:
(x^3-2x)a^2+(2x^2-x^4)a+(x^3-2x)=0,
所以x(x^2-2)a^2-x^2(x^2-2)a+x(x^2-2)=0,
所以 x(x^2-2)(a^2-ax+1)=0,
所以x=0或x^2-2=0或a^2-ax+1=0,
所以x=0或x=±√2或x=a+1/a.
若x=0,则由⑤,得a=c,不合题意;
若x=a+1/a,则由①,得a=b,不合题意.
所以x=±√2.
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