二次函数压轴题2，有关面积和等腰直角三角形存在性问题

【题目呈现】

如下图，抛物线y=ax²+bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.

(1)求抛物线的表达式;

(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积;

(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标;

(4)若点M在直线BH上运动，点N在X轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积.

【思路分析】

(1)利用待定系数法求二次函数的表达式;

(2)根据二次函数的对称轴X=2写出点C的坐标为(3，3)，根据面积公式求△ABC的面积;

(3)因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标(m，一m²+4m)，利用面积差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标;

(4)分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算.

【答案与解析】

解:(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入y=aX²+bX中，得0=10a+4b且3=a+b，∴a=一1，b=4.∴抛物线的表达式为y=一X²+4x.

(2)点C的坐标为(3，3)。

又∵点B的坐标为(1，3)，∴BC=2，∴S△ABC=1/2×2×3=3

(3)过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P(m，一㎡+4m)，根据题意，得BH=AH=3，HD=㎡一4m，PD=m一1，∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD一S△BPD，6=1/2×3×3+1/2(3+m一1)(㎡一4m)一1/2(m一1)(3十㎡一4m)，∴3㎡一15m=0，∴m1=0(舍去)，m2=5.∴点P坐标为(5，一5).

(4)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论:

①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图1，CM=MN，<CMN=90°，则△CBM≌△MHN，∴BC=MH=2，BM=HN=3一2=1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得:MC=√5，∴S△CMN=1/2×√5×√5=5/2;

②以点M为直角顶点且M在X轴下方时，如图2，作辅助线构建如图2所示的两直角三角形:Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=NE=2，由勾股定理得:CM=√29，∴S△CMN=1/2×√29×√29=29/2;

③以点N为直角顶点且在y轴左侧时，如图3，CN=MN，<MNC=90°，作辅助线同理得:CN=√34，∴S△CMN=1/2×√34×√34=17

④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图4，作辅助线同理得CN=√10，∴S△CMN=1/2×√10×√10=5;

⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形，

综上所述，△CMN的面积为5/2或29/2或17或5.

【反思】讨论直角三角形时，由三个顶点分别作直角顶点进行分类。