函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的.
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思.李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”所以“函数”是指公式里含有变量的意思.我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专着《九章算术》中,意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
设函数f(x)在区间X上有定义，如果存在M>0,对于一起属于区间X上的x，恒有
,则称f(x)在区间X上有界，否则称f(x)在区间上无界
。
单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x及x，当xf(x)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
奇偶性设
为一个实变量实值函数，若有
，则f(x)为奇函数。
几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。
设f(x)为一实变量实值函数，若有
，则f(x)为偶函数。
几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。
偶函数的例子有|x|、x2、cos(x)和cosh(x)。
偶函数不可能是个双射映射。
周期性设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一
有
，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数
的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数。
周期函数有以下性质：
（1）若T（T≠0）是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期。
（2）若T（T≠0）是f(x)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(x)的周期。
（3）若T1与T2都是f(x)的周期，则
也是f(x)的周期。
（4）若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分别是f(x)的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）
（6）若T1、T2是f(x)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(x)不存在最小正周期。
（7）周期函数f(x)的定义域M必定是双方无界的集合。
连续性在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
设f是一个从实数集的子集射到 的函数：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。
不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。
仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：
对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的δ，只要x满足c - δ< x="">< c="" +="" δ，就有成立。="">
凹凸性设函数
在
上连续。如果对于
上的两点
，恒有
，
那么称第一个不等式中的
是区间
上的凸函数；称第二个不等式中的
为严格凸函数
。
同理如果恒有
，
那么称第一个不等式中的
是区间
上的凹函数；称第二个不等式中的
为严格凹函数
。
复合函数设函数
的定义域为
,函数
在D上有定义(D是构成符合函数的定义域，它可以是
定义域的一个非空子集)，且
，则函数
称为由函数
和函数
构成的复合函数，它的定义域为D，变量
称为中间变量。
并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，若D为空集，则
和函数
不能复合
。
反函数一般地，设函数
,值域是W，对于每一个属于W的y，有唯一的x属于D，使得f(x)=y,这时变量x也是变量y的函数，称为y=f(x)的反函数，记作
。而习惯上y=f(x)的反函数记为
。
习惯上只有一一对应的函数才有反函数。而若函数是定义在其定义域D上的单调增加或单调减少函数，则其反函数在其定义域W上单调增加或减少。原函数与反函数之间关于y=x对称
。
分段函数在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同解析式子来表示的一个函数，称为分段函数
。分段函数的定义域是各段定义域的并集。
x取定义域内任意数时，都有 y=C (C是常数)，则函数y=C称为常函数，
其图象是平行于x轴的直线或直线的一部分。
一次函数在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成
(k为一次项系数,k≠0，b为常数)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。
基本性质
1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。
2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)；当y=0时，一次函数图像与x轴相交于（﹣b/k）
3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
4．在两个一次函数表达式中：
当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
5．两个一次函数（y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
该函数的对称轴为－（k2b1+k1b2)/(2k1k2)；
当k1,k2正负相同时，二次函数开口向上；
当k1,k2正负相反时，二次函数开口向下。
二次函数与y轴交点为（0，b2b1)。
6．两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。
7. 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。
图像
如右图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)图像是直线，过(0，b)和(-b/k，0)两点。特别地，当b=0时，图像过原点。
一次函数和方程的联系与区别:
1、一次函数和一元一次方程有相似的表达形式。
2、一次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值 。
3、一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。
从函数的角度看，解不等式的方法就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围的一个过程；
从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为(-b/k,0)。
当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>- b/k，不等式kx+b<><- b/k；="">
当k<0的解为：不等式kx+b>0的解为：x<-><0的解为：x>- b/k。
二次函数
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
，则称y为x的二次函数。二次函数的定义域为实属域R。常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)
二次函数还有以下两种表示方式：
顶点式：
;
交点式（与x轴）：
从右图可见二次函数图像是轴对称图形。
函数性质
1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
,当
时，P在y轴上；当
时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。当a>0时，函数在
处取得最小值
；在
上是减函数，在
上是增函数；函数的值域是
相反不变。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。>
5.令
，有以下性质：
Δ>0，抛物线与x轴有2个交点，分别为：
和
。
Δ= 0，抛物线与x轴有1个交点，为
。
Δ<0，抛物线与x轴没有交点，x的取值为虚数。>
三次函数形如
（a≠0,b,c,d为常数）的函数叫做三次函数(cubics function)。 三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普
通抛物线）
四次函数定义：形如
的函数叫做四次函数。
五次函数一般的，自变量x和因变量y存在如下关系：
的函数，称y为x的五次函数。其中，a、b、c、d、e分别为五次、四次、三次、二次、一次项系数，f为常数，a≠0。在实际中，一般不使用此函数。
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