论数学哲学

数学哲学

雷盛运

数学哲学问题可分为两个方面：一是数学与现实世界的关系问题，即数学的来源与本质问题。二是数学的辩证内容问题。恩格斯在《自然辩证法》第5页中写道：数学：辩证的辅助工具和表现形式。——数学的无限出现在现实中。这句话高度概括了数学哲学问题的两个方面，为我们学习数学哲学提出了一个纲。下面笔者谈谈学习这个问题的点滴体会

一、关于数学的本源问题

恩格斯指出：“全部哲学，特别是近代哲学的重大的基本问题，是思维和存在的关系问题”。这个哲学基本问题也同样贯穿在数学哲学中。数学的概念、理论和方法从何而来？数学是来源于生产实践，反映客观现实世界，还是人类理性的自由创造物和想象物？对于数学本质与来源的问题，不同哲学观的人有着本质上不同的看法。唯心主义者认为数学不是客观世界的反映，它先于人类的实践经验，甚至先于物质世界而存在。古希腊的毕达哥拉斯学派就认为，数学是先验的，第一性的。“数形成整个天”，决定着宇宙的秩序和和谐。而客观现实世界不过是数学的的摹仿“。十九世纪70年代，唯心主义者杜林，为了适应他鼓吹唯心主义先验论的需要，胡说什么数学是先验的，理性的“自由创造物“，是不依赖客观世界和人们的经验，直接从头脑中构想出来的。在我国历史上反动统治者和唯心论者把数学歪曲为圣人的意志，用唯心主义的天命观解释数学的成果。如所谓的”河图洛书“之说，把九章算术中的算术运算知识说成是上帝通过洛水神龟背上图形启示圣人的。宣扬“周公作九章之法以教天下”“河图洛书泄其秘，皇帝九章著之书”。给数学披上了神秘的外衣。一切唯心论者宣扬数学是先验的，是人们头脑主观想象出来的东西。他们都是为了一个共同的目的，即鼓吹上帝创造世界，精神先于物质。

数和形的概念来源于现实世界

数学是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的学科。它同其他科学一样，自从人们的社会生产实践活动中产生的，反过来又为生产服务。世界是物质构成的。时间和空间是物质存在的基本形式。物质存在的空间形式主要表现于它的形和量。数学就是从物质的空间形式——形与量的相互关系等方面来研究现实世界的客观规律。因此，数学是以现实物质世界作为研究对象的。正如恩格斯说的，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源外部世界的事实。”（《反杜林论》第25页）“数学中数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的”。数学产生于数数和测量。在人类社会最初阶段，由于计数和测量的需要，便开始形成了自然数初步概念。后来由于对事物集合进一步认识，并引进了数字符号，人们对自然数的认识来了一个飞跃，抽象的数概念正式形成了。随着生产实践的进一步发展，人们在丈量土地的过程中，发现所选用的计量单位，一般不能在被测量的数量上恰恰置放整数量。这样仅有1、2、3…….等自然数不够用了。于是又创造了一种新的数——正分数产生了。今天在数学中学习的各种数的概念，如自然数、零、分数、小数、正数、负数、有理数、无理数、实数、复数，等等，都是人们为了解决生产实践中的问题和数学本身的需要而产生和发展起来的。1、2、3、4……这样的十进位制的整数概念是从十个指头或别的客观事物中抽象出来的。至今世界上有些原始部落，把”2”取名为“眼睛”。“5”的名称叫“手”。“20”的名称叫”整个人”。意思是人的手指头，脚趾头共20只。英尺这个词原意是“脚掌”（FOOT）,即和脚掌一样长的意思。

形的概念的产生也是如此。几何学上的线、面、角、多边形、立方体、球体，等等，都是从现实世界中得来的。例如，直线这个几何概念，是原始人观察光线、拉紧的绳子、垂直的树木中，特别是从制造具有直边的各种工具、器物的生产实践中，对客观事物加以比较抽象出来的。又如角的概念，是古人观察人的大小腿（股）或上下臂之间所形成的角而产生。据考察，在多数语言中，角的边常是用“股”或“”臂“的字眼来表示。英文中直角三角形的两边叫两臂。汉文中直角三角形的一条边叫”股“。立方体(CORPUS SOLIDUM),这个词在拉丁文中是指可触摸到的物体。各种几何概念的产生都是这样，首先是客观世界中有各种不同的几可形状的具体事物存在，然后映入人们的头脑，从而产生出方的、圆的、椭圆的……等几何图形概念。自从人类制造陶器，各种几何图形概念大发展了。特别是随着农业生产的发展，使得计算容积，测量土地面积成了十分必要的事情，于是就产生了几何学。

计算能力是人们长期经验的积累

在数学中不仅计算的对象是客观事物中抽象出来的，而且计算能力也是人们长期经验的积累。原始社会并无独立的数学这门学科。也不懂得计算。他们用在绳子上打结或摆石子的方法，来纪录猎获野兽和采集野果的多少及分配劳动果实。”计算”(CALCULUS)这个词，在拉丁文中原意是”石子“。”ABACUS”(算盘)的希腊文原意是”沙“。这说明在使用算盘之前，他们是在沙地上画点来纪录数的。今天小学生都会的加、减、乘、除四则运算，是人们在长期实践活动中摸索出来的。原始人在摆石子计数的过程中，发现两堆或更多堆石子合在一起数，与在此处键入公式。一堆一堆地数，其结果是一样的。从中认识到，客观事物的数量可以逐个累加。以后他们在分配劳动果实和丈量士地等生产活动中，又发现几个相同的数相加和求矩形面积时可以用比加法更简便的新的方法运算。这样便出现了乘法。减法、除法、以及乘方、开方等计算方法也是这样，是人们在长期的生产生活实践活动中逐步认识和创造出来 的。考察数学发展历史，在数学教科书中所遇到的各种数学符号、运算规则和公式，决不是一开始就这样系统完整。早在公元前三千年左右，巴比伦和埃及出现了原始的数学。但他们的运算很简单，是用楔形文字▼（1）▼▼（2）▼▼▼（3）…….巴比伦人把数字合在一起表示相加……后来他们在天文中出现”tab”这个字表示加法……他们还做减法、乘法、除法运算。他们做除法运算是运用倒数即某数除以A等于这个数(A)乘以。古代埃及的代数里没有成套的记号。现在保存在伦敦博物馆的埃及数学文献Ahmes草片文书中加法和减法，用一个人走近和走开（来和去）的腿形（Л）来表示。由于尼罗河每年涨水后要重定农民土地的边界。因此，埃及人在几何学计算方面取得了巨大成就。他们很早就总结出了计算矩形、三角形、梯形面积的方法。如计算三角形采取一数乘以另一数一半的方法。他们俩对圆面积计算好得惊人。用的是公式。其中d是直径。这就等于π为3.1605。埃及人还计算立方体、箱体和其他图形体积的法则。当然，他们的法则同现代的数学比较，有些不准确，有些是近似的。这正说明今天的数学中的各种运算方法和公式都是前人在生产实践中积累起来的经验。世界上没有什么生而知之的数学“天才”。全部数学知识决不是少数圣人头脑的产物，而是古今以来劳动人民从事生产实践和唯物主义的数学工作者辛勤劳动，逐步总结起来的。

虚数不“虚”

实数概念是从现实中产生并能在客观世界找到其原型。这一点比较好理解。与实数对立的虚数i即，是否也是从现实世界中提炼出来，能否找到其原型？辩证唯物主义者的回答是肯定的。虚数并不“虚”。它同实数一样，客观世界里有它的现实原型。考察数学发展史，虚数不是人们任意想象出来的东西。而是从人们的需要中产生的，是在实践中发展起来的。人们在解二次或三次方程时遇到负数开平方的问题。但在实数范围内任何一个数的平方都不能得到一个负数。可是客观世界中又存在这个矛盾。怎么办？于是人们考虑建立一个新的数(i)，以解决这一矛盾。十六世纪三十年代，意大利数学家卡当发表了一元三次方程求解的一般法则，讨论了负数开平方的问题。该世纪七十年代，意大利数学家帮别利从—1出发，经过一系列运算，成功地解决了三次方程代数解的问题。这正如恩格斯说“在许多情况下毕竟是正确的数学运算的必然结果”。但是，由于当时人们认识上局限性，还没有发现它的现实原型，所以，笛卡尔在1637年把它取名叫“虚数”。在相当长的时间内，由于虚数在实践中没有得到应用，总给人们虚无缥缈的感觉，许多人认为这样的数在现实世界中是不存在的。随着数学的发展，特别是测量地图的实践需要，给出了其几何解释，建立了以i为单位的的横轴和以i为单位的纵轴组成的复平面，虚数的现实原型开始清楚了。随着科学的发展，在弹性力学、空气动力学、电工学、地图学中，虚数得到了广泛应用，物理学世界为虚数提供了许多现实模型。从此以后，“虚数”再也不虚了。只是由于历史的原因，今天人们仍然称它为“虚数”.

当然，虚数不象实数那样直接反映现实世界。离开虚数与实数的联系，孤立地去找虚数的现实原型是办不到。直接找不到并不等于没有现实原型。现代数学中复数概念，复数的运算方法，以及复数、代数、几何、三角和指数等的表示式，不但客观世界里有它们的现实原型，而且，它们比实数更深刻、更全面，更广泛地反映客观世界的规律性。例如，复数比实数更能反映出客观世界的矢量、正弦量以及它们的分解叠加和旋转的变化规律性。电学中的复电压、复电流或它的复有效值，不仅如实反映了正弦交流电电压、电流的振幅值大小，而且反映了它们的相位。电学中的这些规律，要是没有虚数和复数的概念，单纯用实数来刻画是不可能全面地反映出来的。

数学表达式是客观事物规律的抽象

人们在长期生产实践活动中，逐步认识了客观事物内部的规律，并用公式的形式把它纪录下来，这就产生了今天数学上的各种各样的数学表达式。在力学中匀速运动公式S=VT和匀加速运动公式S=t+1/2at；电学中的欧姆定律 i=U/R；生物学中人口增长计算公式（t）=β(t)……等等，它们就是来是客观世界，反映客观世界，是客观世界规律的抽象，称之为客观世界中诸事物的数学模型。数学中各种各样的代数方程、微分方程、差分方程、逻辑方程式及至计算机程序等，每一个数学表达式都唯一对应着客观世界一个实际系统的数学模型。它揭示了现实世界各种事物内部及其彼此间相互联系、相互依赖、相互制约的规律，反映了事物矛盾方面的同一性和斗争性。

为什么说各种各样的数学式子是客观世界中各种各样的事物内部规律的抽象和概括呢？唯物辩证法告诉我们 ，世界上一切事物都是相互联系、相互依赖和相互制约的。不仅事物内部矛盾着的各个方面是相互联系、相互依赖、相互制约的。而且，它与外部世界也是相互联系、相互依赖和相互制约的。人们认识事物正是认识它的相互联系关系，即认识它的内部联系和外部联系，又称之为认识它们的规律性。人们在实践中认识了各种事物内在的规律，把它们之间相互联系、相互制约的关系，用函数关系式F(X)表示出来，也就成了该事物的数学模型。关于这一点，早在17世纪法国哲学家笛卡尔就认识 到了。他认为事物的最基本和最可靠的性质是形状、延展和在时空里的运动。而运动本身是由于力作用在分子上的结果。并且这些力服从于不变的数学定律，而且由于延展和运动都可以用数学表出。所以一切事物都可以用数学描写出来。正是因他有了这种认识，而创造了笛卡尔坐标系（直角坐标系）。它的诞生标志着数学上的一次大革命——一门新的数学学科《解释几何》降世了。《解释几何》正是借助笛卡尔的坐标系把代数和几何联系起来了。借助于这一坐标系，就能把客观世界物质的空间位置、形状、体积及其运动规律，绘成看得见，摸得着的直观图形，反映了该事物的运动规律。这样客观世界物质的运动形式用各种各样的数学方程描写出来了，它不仅表明了客观事物运动的状态，而且描绘了运动的过程和趋向。数学表达式是运动着的物质的抽象。如У=ax+b，表示一条直线； y=表示一条抛物线; 表示圆心在原点，半径等于r的圆 ;sinx表示一条正弦曲线等。当今人们借助于电子计算机，将这种从客观世界中抽象出来的数学表达式，运用指导改造客观世界。例如工业生产中的数学放样，就是根据人们多年积累的生产经验，通过数学的手段，将放样工件先从形转化为数，找出其函数关系，列出相应的方程式，编写出计算程序，送入电子计算机内，再将数转化为形，达到生产出我们所需要的形状的产品。这种从客观世界中来，又回到客观世界中去的过程，否定了唯心主义的数学“先验论“，证明了数学概念、理论的客观性和相对独立性。还证明了人们的主观能动性与客观规律性，即思维与存在的统一，二者统一在实践的基础上。

数学公理的客观性

为了证明数学定理，建立数学体系的需要，人们采用逻辑推理方法，把在亿万次实践中证明了那些反映客观事物数量关系基本性质的最简单命题，用它作为逻辑推理的出发点，将在长期实践中认识的各种各样的数学定理整理成一个比较严格的逻辑体系。这种推理方法叫公理推理法。用来作为推理的出发点的命题称之为公理。

公理在数学体系中不需证明，也无法证明。唯心主义者抓住这一点大做文章。说什么公理是人们主观“约定”的，不反映客观世界的“先验”的东西。妄图用否定公理的客观性来否定数学理论来源于客观世界。

辩证唯物主义认为，数学公理是客观的。之所以说它是客观的：

第一，公理的内容是客观的。数学上任何一个公理，其内容都是来源于外部世界，是对客观世界事物数量关系及其规律的正确反映。离开被反映的客观世界，就不可能有任何认识。更谈不上对客观事物的正确认识，也就不可能产生出各种数学公理。先要有被反映的事物存在，才能引起人脑的反映，产生正确的认识。存在第一性，意识第二性。先有存在，后有意识，这是一条颠扑不破的真理。虽然公理可以表现为逻辑体系的出发点，但它决非整个认识过程的出发点。在人们认识过程的长河中，公理是研究的结果，而不是研究的出发点。人类认识运动的秩序，总是由认识个别特殊的事物，逐步扩大到认识一般事物，在占有大量感性材料的基础上，进行概括、分析、演绎、推理，从而得出概念、理论性的东西。因此，公理同其他任何事物一样，是人们认识史上一定阶段的产物。我们曾在欧氏平面几何中学习过五条著名的公理，即“两点确定一条直线”；“直线可以任意延长”；“有圆心和半径可以作一个圆”；“凡直角都相等”和“过一点只能作一条直线与另一条直线平行”。这些几何公理是在公元前三世纪由欧几里德为了证明几何学中一些定理的需要总结出来的。但此以前人类早就在生产斗争实践中研究了几何学。现在发现较早的几何学《草本》是在公元前1650年写的。那里没有公理，但有丰富的几何经验、公式和各种几何定理。由此看出，把数学看成由几条公理推出来的唯心论观点是站不住脚的。

第二，检验公理的标准也是客观的。这个标准就是实践。任何一种理论的正确与否，都要用实践这把尺子量一量。凡经实践证明，它正确反映了客观世界，这种理论就称之为真理。否则就是谬误。公理是人们公认的真理，它不需要逻辑证明，但不等于说不要实践证明。恰恰相反，正是因为人类亿万次实践证明了它正确地反映了客观实际，才定义它为公理。甲量等于乙量，乙量等于丙量，则甲量等于丙量。这个被人们看作“不证自明”的公理，并非它是什么“先天知识”。而是因为前人反复实践，认识了客观事物之间有着这样一种传递性，并通过知识的传授世世代代传下来，才成为“不证自明”的东西。即使是这样，人们仍然要有实践经验作基础，才能理解这条公理。假如对一个隔绝于自然界和社会之外，没有数量关系概念的小孩来说，这个“不证自明”的东西，对他也是一道难题。

第三，公理是客观的，还在于它的相对性。辩证唯物主义认为，任何客观真理都是相对真理和绝对真理的辩证统一。公理作为前人经过亿万次实践证明它反映了客观事物，因而被人们当作真理。从这个意义上讲，它是绝对的，无条件的。但在人类认识这个长河中，它同其他真理一样是相对而言的，有条件的。例如前面提到的欧氏“第五公设”即第五公理，在地球这个不大广阔的空间里，实践证明了它是正确的。但是，把它放到宇宙这个广阔的空间里，它就不能成立了。非欧几里德几何学证明，在平面内过一点可以作无数条直线与已知直线不相交。爱因斯坦创造的相对论告诉我们，时间和空间的几何性质是由事物的分布和运动状态决定的。广义相对论指出引力场的时间、空间特性依赖于物质质量的分布。质量愈大，分布愈密，引力场愈强，则空间的曲率也就愈大。例如，在太阳系里，由于太阳本身巨大的质量（其质量占整个太阳系质量总和的99.86%），产生了强大的引力场，引起周围时空的弯曲，当遥远的恒星的光线经过太阳附近时，由于太阳周围空间弯曲的原因，光线的路线也就发生弯曲。现代天文学和物理学已经证明“过一点只能作一条直线与另一条直线平行”这一公理已不完全正确了。三角形三内角之和也不等于180度。面对这种情况，人们需要建立一种新的平行公理，反映各种不同性质的空间的实际情况。为解决这一矛盾，非欧几里德几何学应运而生了。

数学的相对独立性

数学来源于客观世界，但又有高度的抽象性。它是从人类的需要中产生的，是从现实世界抽象出来的规律。但它在一定发展阶段又和现实世界相脱离。意识的相对独立性具有普遍性。一切科学当它从客观世界抽象出来后就和现实相脱离，并且作为某种独立的东西与现实世界相对立。这是因为，人类认识客观世界总的秩序是，从个别具体事物开始，经过头脑加工思考，认识了客观事物的本质和规律，形成了一般抽象的概念。然后运用这些概念去认识新的具体事物。如此无限循环下去，人们的认识不断丰富和发展。当人们在实践基础上，经过思维作用，形成对事物规律认识的时候，正是在这个阶段上，人们的认识有了相对的独立性，进而可以运用它去分析客观事物，解决实际问题，并在此过程中检验抽象出来的概念、理论是否符合客观实际，修正错误的东西，丰富和发展原有的理论。这是人们认识事物的普遍规律。今天，数学从现实世界分离出来，作为一门相对独立的科学而存在，并且广泛运用于各个领域。这只是表面上掩盖了它起源于外部世界的事实。我们决不能被这一点蒙住眼睛，把数学误认为某种”先验的东西“，是人类理性的自由创造物和想象物。这样势必滑入唯心主义的泥坑。

二、数学中的辩证法内容

我们周围的物质世界是由无数相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的事物所形成的统一整体，充满着矛盾和斗争。数学是研究客观世界关系和空间形式的科学。因此，客观世中的对立统一规律、质量互变规律、否定之否定规律等辩证内容必然在数学中反映出来。不仅高等数学中充满着辩证法，就连初等数学也充满着矛盾，是对立统一的。数学中的数总是一分为二，成对地出现。如正数与负数、整数与分数、奇数与偶数、有理数与无理数、实数与虚数、有限数与无限数…..等等。形的概念也是如此，直线与曲线、方与圆、弧与弦、平行与相交等等，都是“形”这个统一体的两个方面。数学中的各种运算方法也是对立统一，相互联系，相互依赖，相互转化的。加与减，乘与除，乘方与开方，指数与对数，微分与积分，等等，都是互为逆运算的。它们之间并不是僵死的，孤立的，而是相比较而存在，相斗争而发展，在一定条件下相互转化。正数与负数可以按大小顺序通过“零”（在数轴上是原点）从一方面转到另一方面。a=–（–a），就是这种转化的具体形式。同样有理数与无理数也可以相互转化。转化的形式是当有理数无限逼近无理数，取其极限。这时有理数就转化为无理数了。而无理数每次近似取舍的值都是有理数。如1.414…..= ；。微分的无限积累可以转化为积分。反之，积分的无限可分又转化为微分。设有函数y=f（x），先将y=f（x）微分，则有；再将微分的结果再积分，

从而又还原为原函数。

的式子表达了微分与积分转化的过程。由此看出数学中处处充满着辩证法。下面从具体一些事例，谈谈数学中辩证法的内容。

“1”的辩证法

“1”是自然数的“排头兵”。人们最早形成数的概念是从“1”开始的。小孩学数学也是从“1”开始的。度量各种事物的单位也是“1”。如1公里，1小时……“1”是初等数学中最简单的概念之一。

怎样看待“1”。辩证法和形而上学有着根本不同的看法。形而上学者认为1就是1，2就是2。他们俩把1看成是凝固的、僵死的、一成不变的，没有矛盾的。唯物辩证法认为“1”是一与多的对立统一，是一对矛盾的两个方面。;“1”发展出“多”，“多”中包含“1”。这是显而易解的。任何一个大的自然数都是由“1”加“1”不断地加下去而得来的。电子计算机的“加法器”正是利用这个道理设计的。现实世界中的各种物质都是由一个一个基本单位组成的。一仓库麦子是一颗颗麦粒堆积起来的。大河中的流水可算多了，可它是一滴一滴水汇集起来的。任何一个“多“都可以分解为多个“1”，这是无疑的。辩证法还认为，不仅“多”中包含“1”，而且“1”中也包含“多”。例如10个0.1相加等于“1”。“多”寓于“1”之中。“多”与“1”的关系是矛盾的普遍性与特殊性的关系，共性与个性、一般与个别的关系。如果把整个“宇宙”看成“1”，宇宙是由无数多的天体组成的。目前人们利用射电望远镜观察到离地球达一百亿光年（光束每秒30万公里，一光年就是光一年所走的路程）的天体和宇宙的10亿个星系。然而，这只是人类目前认识能力所达到的界限，并不是宇宙的边缘。由此可见，宇宙这个大“1”，包含了无限之“多”。在微观世界中也是如此。一个分子是由若干个原子组成的。一个原子又由一个核子和多个电子组成的。一个核子又是由多个质子和中子组成。随着人们认识 的深化，今后还会认识到比质子、中子更小的基本粒子。由此可见，一个分子也是由无数多个可分的基本粒子组成的。

“1”在现实世界中如此，在纯数学中也是这样，显示了它的无限多样性。例如;

1=

1 ……

1=......

1=

1=

从以上式子看出，数学家们早就把“1”当作“多”来处理。尽管他们在理论上已经这样做了。可是由于传统的形而上学思想的影响，一些人把“1”和“多”对立起来，割裂开来，在实践中不承认“1”与“多”的辩证关系，看不到两者的内在联系。只有代表无产阶级先进思想的——马克思哲学诞生后，马克思、恩格斯把唯物辩证法引入数学，透彻地剖析“1”与“多”这对矛盾运动的规律，揭示了它们之间内在的本质的、必然的联系。恩格斯在《自然辩证法》（第237页）一中指出“再没有什么比1更多样化了“。无论从理论和实践上讲，这个结论是千真万确的。各方面都证明“１”比其他任何数有更多的不同的内容、不同性质和不同的表现形式。我们不能把“１”当作纯粹的“１”来理解和运用。“１”中有“多”，“多”中有“１”，“１”转化为“多”，“多”转化为“１”。这就是“１”与“多”的辩证法。

“0“是有与无的对立统一

一提到“0“，人们往往会理解为”无“的意思。其实”0“不是绝对的“无”，而是有与无的对立统一。关于这一点，我国古代哲学家老子就谈过这个问题。他说：“三十辐共一毂，当其无，有车之用。埏埴以为器，当其无，有器之用，凿户牖以为室，当其无。有室之用，故有之以为利，无之以为用。”这话的意思是，三十个条辐集中插在一个车轴上只有当中间是空无的，才有车轮的作用。用陶泥做器皿，只有当中间是空无的，才有容器的作用。。开凿门窗造房屋，只有门窗中间是空无的，才有房屋的作用。所以“有”给人们的利益只有与“无”联系起来，才能起作用。这些话虽然很玄乎，但有辩证法思想。

唯物辩证法认为，任何东西的灭亡都是转化为另一种事物，决不是化为绝对的“无”。从纯粹的数学观点看，“0”是对任何定量的否定，在这个意义上讲它表示“无”。但从辩证的关系来看，“0”具有丰富的内容。正如恩格斯说的：“作为一切正数与负数之间的界线，作为既不是正又不是负的中性数，”零“不只是一个非常确定的数。而且它本身比其他一切被它所限定的数都更重要。事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容。”《自然辩证法》（第238页）。在现实世界中，“零”表示一个客观事实的量。在物理学和解释几何中，“0”不是代表“无”，而是代表客观世界中一个实体。例如：通常说的ｃ，并不是没有温度，而是能在温度计上可以显示出来，人们也可以感觉出来的的一个实实在在的温度。这个温度是水的凝固点。当温度降到C,水就由通常的液态变为固态。在时间概念上的“零”点，它绝不是表示没有时间，而是一个实实在在的时间，一天的开端。在笛卡尔坐标系中，“0”是一个实实在在的点，即坐标原点。在失量代数里，“0”表示终点与起点的重合，没有固定方向，即“零向量”。在微分运算中的 即决不意味着无，而是一个实实在在的量，即导函数。这个导函数通过首先取差，随后又将它扬弃，从而函数自变量△x消失了，随之函数改变量△y也消失了，才出现 的形式。原函数通过二次否定，不是回到原来的出发点，而是解决了初等数学中解决不了（即0不能作除数的课题）。马克思在《数学手稿》中对这一过程作了精辟的概括：“首先取差然后再把它扬弃，这样在字面上就导致无，理解微分运算的全部困难（正象理解否定的否定本身时那样），恰恰在于要看到微分运算是怎样区别这样的简单手续并因此导出实际的结果。” 由此可知，微分运算中的

，它是变量x的自我否定，仅仅是字面上导致无。是转化不是消失，是既被克服又被保存，“按其形式来说是被克服了，按其现实内容来说是被保存了。（马克思选集第三卷第178—179页）。变量ｘ在经过二次否定之后已经起了质的变化，”它通过部分部分地与自己结合，部分地与原函数中的x结合，给出了最终的‘导数’”。式上消失为0，伴之也消失为0。它们在量上虽然消失了，但函数对于变量X的依赖关系（即质的关系）依然保留着，而且发展了。

　　与其他数量的相互关系上看。它不仅有确定的内容。而且其容与含义比其他任何数都丰富。把0与正、负数联系起来看，”0“是正数与负数的分界线。在整个有理数中，”0“是一个真正的中性数。它既不是正数，也不是负数。”0“还有一个独特的性质，就是0乘以任何数都是得0。诸如此类，足以看出”0“具有丰富的内容，不能简单视为绝对的“无”。

“0”是自我否定规律在数学上的反映。否定之否定规律是客观世界一个普遍规律，它揭示了事物内部矛盾的斗争及其旧事物向新事物转化的过程。“0”是一事物否定它事物的标志，是旧事物向新事物转化的临界点，又称为质变点”。5-5=0，这道连幼儿园小孩也会算的算术题，单从算术上看它表示无。但将它移入现实世界中，赋予它的实际内容后，这里的“0”不再表示“无”了，而有其特定的内容。举例讲，假如是5粒麦子，将它播种在一定条件下的泥土里。几天后原来的麦子没有了，长出了五棵麦芽。对原有的麦粒而言，它们消失了，在数量上变成”0”.从这个意义上讲5-5=0，表示“无“。但这个无不是绝对的，而是相对的。对于旧的麦粒种子来说，确实不存在了。但它并没有灭亡，而是转化为五棵麦苗。麦苗否定了麦粒，旧事物转化为新事物”0“就是这种否定的标志，是事物发展的环节而不是中断。它介于新旧事物之间，既是旧事物发展的终点，又是新事物发展的起点。在旧事物中它表示”无“，而在新事物中它代表”有。“０”就是“有”与“无”的对立统一。

直与曲在一定条件下相互转化

在日常生活中我们常见到这样的情况，一个钳工用平锉加工圆形零件。虽然每一刀锉的都是平的，但由于他不断改变平锉的方向，最后加工出圆形零件。工厂的大烟囱也是这样，从整体上看它是圆的。但是由一块块直的砖头砌成的。这两个普通的生活例子揭示了客观事物矛盾运动的法则。即矛盾的双方在一定条件下相互转化。用直的砖头砌出圆的烟囱。用平锉锉出圆形工件。说明直可代替曲。直与曲这对矛盾可以相互转化。正如恩格斯指出的“等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线与曲线应当是一回事”。这句话高度概括了微积分的基本思想。全部微积分是建立在解决直与曲、有限与无限的矛盾，实现曲与直 ，有限与无限相互转化的基础上。形而上学者听到这句话，目瞪口呆，大喊”荒谬！荒谬！“。在他们的眼里，直就是直，曲就是曲，直与曲怎么能等同起来呢？“直线与曲线在微分学中终于等同起来了”。这个观点，对形而上学者来说，他们是无法理解和接受的。这是因为他们用静止的孤立的片面的观点看世界。不管形而上学者承不承认这一点，然而生活常识总是如此。举例说，人类居住的地球是一个椭圆形的球体。在风平浪静时见到池塘的水像镜面一样平。这个平是相对的，它只是对池塘这个局部而言。。如果把池塘纳入地球这个整体中来看，它是球面的一部分，不是平的，而是凸的。假如在我们面前有一条笔直的铁路，就某一段铁路这个局部来说它确实 是直的。但这条铁路路是铺设在地球表面上，是地球表面的一条弧。因此，它又千真万确是曲的。宇宙中照射到地球上光线，在人们眼里看来可算是最直的了，但是由于引力场的作用，空间和时间都发生器弯曲。从而光线在宇宙中也是弯曲的。因此世界上没有绝对的直与曲。，只存在着直与曲的对立统一体。在一定条件下它们相互转化。”直与曲等同起来了“或者说是”一回事“，就是从这个意义上讲的。

当然，直与曲的等同和相互转化是相对而言和有条件的。不是无差异的等同，无条件的转化。微积分学是直与曲转化的栋梁。在微积分中，实现直与转化的条件就是细分。直线与曲线的转化是在细分过程中实现的。在微积分中求曲线Y= 、X轴与直线 X=1所围成的曲边三角形的面积分四步完成：第一步是化整为零，即把曲边三角形分

若干个曲边梯形；第二步“以直代曲”，就是用相应的矩形面积

近似代替细分后的曲边梯形面积；第三步“积零为整“，即把所

的小矩形加起来求得阶梯形面积，它是曲边三角形面积的近似值；第四步”取极限“。即无限地细分，这时每个小小矩形的面积转化为微分，近似值就转化为准确的值，即定积分:dx=

等式左边代表曲边三角形的面积，右边是阶梯形的面积。它们在无限细分即时，终于等同起来了，不仅阶梯形的面积等于曲边梯形的面积。而且，此时各无限小曲边梯形的曲边同相应的无限小矩形的直边也等同起来了。在这里“直”和“曲”已是一回事。当然，还应看到，这里的“直”与“曲”的等同不是绝对的、无条件的、简单的相等。而是有矛盾有差异的等同，是辩证的等同。从曲边三角形面积与阶梯形面积的等同上看，它们 相差了一个高阶的无穷小量。这个无穷小量是这样一个量：它是“零”而又非“零“，趋向于“零”而又不等于“零”，它可以完成非零的一切运算，但在解决实际问题时又可以当作“零”用，

影响计算结果。数学上的“直”与“曲”的等同就是在这个无穷小量帮助下实现的。

极限理论中的辩证法

极限理论是整个微积分的理论基础。微积分的一切基本理论和运算法则都是建立在极限概念上。恩格斯指出：“变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外乎是辩证法在数学方面的运用”微积分研究的对象不是常量，而是变量。函数以及函数的各种变化趋势。这些正是客观世界矛盾的运动，变化及相互依赖，相互制约的复杂关系在数量方面的反映。微积分在研究变量的关系时，突破了有限，一直深入到无限中去。极限方法就量利用有限与无限相互转化而解决问题的一种有力的数学工具。极限概念是客观事物质的规定性和量的规定性的辩证统一，即质和量的辩证统一。数学系上的极限概念和哲学家睥度的概念相类似，辩证唯物主义认为：一切发展变化着的事物，在其发展的各个阶段上总是保持自己质的数量界限。在这个界限内事物就存在。超出了这个界限，该事物便不存在，而转化为它事物。变化着的事物这种在变化过程中逐步趋近于一个稳定状态，即趋向某一个常量的过程，在数学上称之为极限过程。这个常量就叫做“极限”。当客观事物在极限范围内变化时，相对而言地讲只有量的变化，而无明显质的变化，从而保持了该事物的相对稳定性。一旦变化达到极限位置，就会出现质的飞跃，原来 的事物消失了，新的事物诞生了。

例如，求曲线上某一点的切线就是通过极限理论来解决的。设曲线y=d点作割线M.当M点沿曲线运动时，达到它的极限割线M沿M点移动。如果沿曲线移动，无限地趋近于M，一旦割线M达到它的极限位置，即M与重合。此时割线M，和割线M终于在极限位置上等同起来了， “““曲转化为直”“近似转化为准确”。曲线y=d在M点处发生了质的飞跃。

极限概念又是有限与无限的对立统一。有限与无限是一对矛盾，它们是辩证统一的。辩证法认为，无限是由无数个有限构成的。无限存在于有限之中。人们是在认识有限的过程中认识无限的。极限理论的实质就是人们通过对变化过程的量的分析来把握变化的结果，通过有限来认识无限，用有限来把握无限。反映了有限与无限量变和质变、过程 和结果的对立统一。贯穿于微积分中的基本矛盾是“匀”与“不匀”、“直”与“曲”的矛盾。解决这些矛盾的基本方法，就是做有限与无限的相互转化工作，即先把有限的东西，无限细分下去，化为一个无限的系列。例如，为了计算积分的连续整体分解为无数间断的组成部分,.这是第一个否定，即用无穷小量否定有限的量，原来为确定的有限的量被展开为无穷小量。于是问题复杂化了，必须进行再一次否定，设法消去无穷小量。其办法就是求和式的极限，使无限的东西重新转化为有限的东西。这是否定之否定。微积分“匀”与“不匀”，“直”与“曲”的矛盾下是通过极限概念的两个方面，即在有限转化为无限和无限再转化为有限的过程中实现的。从有限到无限再到有限，经过 二次否定，矛盾解决了人们从有限囃中了无限，把握了无限。在“有限——无限——有限”这个公式中，最后那个“有限”高了一级。因为它带着解决解决问题的结果回来 了。

化各种运算的矛盾转

恩格斯在《自然辩证法》中讲了这样一段话：“计算方法的一切固定差别都消失了，一切可以用相反的形式表示出来。幂可以写作根（);根也可以写作幂（=）。1被幂除或被根除，可以用分子的幂来表示（==；一个数的几个幂的乘或除可以变成它们的各个指数相加或相减。任何一个数都可以理解和表示为其他任何数个数的幂（对数，ｙ=）。而这种从一个形式到另个相反的形式的转变，产不是一种无聊的游戏。它是数学科学最有力的杠杆之一。如果没有它，今天就几乎无法去进行一个比较困难的计算”。这一大段话有两个含义。其一，它精辟地论述了数学各种运算的相互联系和转化；其二，指明了进行数学运算就是做矛盾的转化工作，化繁为简，化难为易，由未知转化为已知，从而达到解决数学问题之目的。

在代数中，我们常常见到加、减、乘、除、乘方、开方、指数和对数等基本运算法则。这些法则总是成对地出现，并且都是互为逆运算。用哲学的观点讲，互逆就是矛盾。加与减，乘与除，乘方与开方，指数与对数种构成一对矛盾，其处于一个统一体中，一方面互相对立，另一方面又在一定条件下互相转化。例如加法与减法可以相互转化，其条件是引进负数。有了负数，a╇b可以转化为a－（－b）；a－b可以转化为a╇（－b）即a╇b=a－（－b） a－b=a╇(－b)。由于加法与减法可以相互转化，必然会有代数和（加法）与差（减法）的对立统一体。代数和的出现，算术中的“和”与“差”的运算，在代数中终于等同起来了。在算术中的一切减法运算，在代数中都可以用加法来实现，其结果是一样的。

乘法与除法也是可以相互转化的，转化为的条件是引进分数的概念。=a.，就是除尘转化为乘法；a.b=a，就是乘法转化为除法。乘与除的相互转化在代数运算中是十分重要的，没有它，解代数方程就寸步难行。同样，乘方与开方，对数与指数也可以相互转化。幂式可以写成根式：根式也可以写成幂式：=，指数式可以写成对数式可写成。

数学系中的矛盾运动不仅存在于各级代数运算之间，而且还存在于较高一级的运算与较低一级运算之间的联系和转化。在加数与减数相同的条件下，加法可以转化为乘法。如a╇a╇a=3×a；减法可以转化为除法，a—b—b—b=0可以写成a÷b=3或a÷3=b

同样在因数相同的情况下，乘法可以转化为乘方。除法可以转化为开方。例如：=；8÷2÷2=.；特别是对负数幂、分数幂和对数，出现以后各种代数运算之间的相互转化更加多样化了。同底数的幂相乘或相除，可以转化为指数相加或相减，即.=；=。利用对数可以把乘法运算变为加法运算和除法运算变为减法运算。即=+

=

=n

=

这种由高一级运算向低一级运算的转化大方便了数学运算。没有这种矛盾的转化，数学系就不能前进一步。在电子计算机中全部数学运算，包括解微分方程这样复杂的高等数学在内，最后都转化为加法运算变为最简单的1+1=1 0的形式，由机器来实现。如果没有这种矛盾的转化，就不可能有今天的电子计算器机。辩证法揭开了数学的实质。全部数学运算过程，就是揭露事物的矛盾，认识矛盾的转化条件，促进矛盾转化，进而达到解决矛盾之目的的过程。离开事物矛盾运动的数学运算，在理论上和现实中都是不存在的。