真题求解

例1:已知函数的图像位过(3，4)和点(4，3)，请写出满足这个条件的两个不同的解析式。

解析及步骤

由已知点写出函数解析式，实质上是根据不完整的图像写出函数的解析式。解题的关键是想象出满足条件解析式的完整的图像。

⑴ 经过已知两点的函数的图像是直线，利用待定系数法易得该函数图像所对应的解析式为y=-x+7.

⑵ 可以想象经过这两点的函数的图像是抛物线，同样采用待定系数法，求出相应的解析式

设该二次函数的解析式为y=ax*2+bx+c(a≠0).依题意，有

4=3*2a+36+c，3=4*2a+4b+c

解得 b=-7a-1，c=12a+7.

因此，只要a、b、c同时满足上述两个关系式即可保证二次函数y=ax*2+bx+c图像过点(3，4)和点(4，3)显然，这样的二次函数有无个，例如，取a=1，则b=-8和c=19，相应图像所对应的二次函数的解析式为y=x*2-8x+19。

例2:已知四点A(1，2)，B(3，0)，C(-2，20)，D(-1，12)，试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点，如果存在，请求出它的解析式，如果不存在，请说明理由。

解:设经过点A(1，2)，B(3，0)，D(-1，12)三点的抛物线的解析式为y=ax*2+bx+c，依题意，有a+b+c=2，9a+3b+c=0，a-b+c=12.

解得a=1，b=-5，c=6

∴抛物线的解析式为y=x*2-5x+6.

把点C(-2，20)代入上式，得y=(-2)*2-5×(-2)+6

=20.

∴点C也在上述抛物线上，故存在一条，使A、B、C、D四点都在这条抛物线上。

结合上述例题解答步骤，我们通常运用以下方法:

⑴待定系数:先设出函数解析式(代数式)，再根据条件确定解析式(代数式)中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，其解题步骤简记为：

①设‘函数解析式)；②代(条件数值或图像上点的坐标)；③解‘系数方程组)；④返(把确定系数值代回题设解析式).

⑵利用待定系数法确定二次函数解析式时，一般可设以下几种形式的函数关系式：

①项点未知，可设一般式(三点式)y=ax*2+bx+c(a≠0)。

②已知顶点坐标(h，k)，可设顶点式y=a(x-h)*2+k(a≠0)；

③已加抛物线与x轴交点坐标时，可设双根式y=a(ⅹ-x1)(x-x2)(a≠0)；

④项点在原点，可设为y=ax*2(a≠0)；

⑤顶点在y轴上或对称轴是y轴时，可设为y=ax*2+c(a≠0）；

⑥顶点在x轴上时，可设为y=a(x-h)*2(a≠0)；

⑦抛物线过原点时，可设为y=ax*2+bx(a≠0）.

⑶ 已知最值条件或最值，可利用最值公式建立等量关系式，可设顶点式y=a(x-h)*2+k；

⑷已加纵截距(由图像与y轴交点纵坐标或过点(0，c)，可把已知c的值直接代入一般式中的c.

⑸情景型应用题一般地均设特殊解析式。

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