肖博数学小题专练·(十一) 直线与圆
一、选择题
1.设 a∈R,则“a=-1”是“直线 ax+y-1=0 与直线 x+ay
+5=0 平行”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 直线 ax+y-1=0 与直线 x+ay+5=0 平行的充要条件为
a
2-1=0,
5a+1≠0,
即 a=±1,故 a=-1 是两直线平行的充分而不必要条
件。故选 A。
2.过 P(2,0)的直线 l 被圆(x-2)2+(y-3)2=9 截得的线段长为 2
时,直线 l 的斜率为( )
A.±
2
4
B.±
2
2
C.±1 D.±
3
3
答案 A
解析 由题意得直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y
=k(x-2),即 kx-y-2k=0。由点到直线的距离公式得,圆心到直线
l 的距离 d=
|2k-3-2k|
k
2+1
=
3
k
2+1
,由圆的性质可得 d
2+1
2=r
2,即
3
k
2+1
2+1
2=9,解得 k
2=
1
8,即 k=±
2
4 。
3.若圆 O:x
2+y
2=4 与圆 C:x
2+y
2+4x-4y+4=0 关于直线 l
2
对称,则直线 l 的方程是( )
A.x+y=0 B.x-y=0
C.x-y+2=0 D.x+y+2=0
答案 C
解析 圆 x
2+y
2+4x-4y+4=0,即(x+2)2+(y-2)2=4,圆心 C
的坐标为(-2,2)。直线 l 过 OC 的中点(-1,1),且垂直于直线 OC,易
知 kOC=-1,故直线 l 的斜率为 1,直线 l 的方程为 y-1=x+1,即
x-y+2=0。故选 C。
4.设定点 A(3,1),B 是 x 轴上的动点,C 是直线 y=x 上的动点,
则△ABC 周长的最小值是( )
A.3 5 B. 6
C.2 5 D. 10
答案 C
解析 设点 P,Q 分别为点 A 关于直线 y=x,x 轴的对称点,则
P(1,3),Q(3,-1),根据对称性知△ABC 的周长为 L=|AB|+|BC|+|CA|
=|QB|+|BC|+|PC|,则 P,C,B,Q 在同一直线上时,△ABC 的周长
L 取得最小值,其最小值为 L=|PQ|= (1-3)
2+(3+1)
2=2 5,故选
C。
5.已知圆 C1:x
2+y
2-2mx+4y+m2-5=0 与圆 C2:x
2+y
2+2x
-2my+m2-3=0,若圆 C1与圆 C2相外切,则实数 m 的值为( )
3
A.5 B.-2
C.2 或-5 D.-2 或 5
答案 C
解析 对于圆 C1与圆 C2的方程,配方得圆 C1:(x-m)
2+(y+2)2
=9,圆 C2:(x+1)2+(y-m)
2=4,则圆 C1的圆心 C1(m,-2),半径
r1=3,圆 C2的圆心 C2(-1,m),半径 r2=2。如果圆 C1与圆 C2相外
切,那么有|C1C2|=r1+r2,即 (m+1)
2+(m+2)
2=5,则 m2+3m-
10=0,解得 m=-5 或 m=2,所以当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1与
圆 C2相外切。
6.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 l:y=kx+1 与圆 C:x
2
+y
2=4 相交于 A,B 两点,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OAMB,
若点 M 在圆 C 上,则实数 k 等于( )
A.1 B.2
C.-1 D.0
答案 D
解析 由题意知圆心到直线l的距离等于1
2
r=1(r为圆C的半径),
所以
|k×0-0+1|
k
2+1
=1,解得 k=0。
7.(2017·重庆一模)若平面区域
x+y-3≥0,
2x-y-3≤0,
x-2y+3≥0
夹在两条平行
直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.
3 5
5
B. 2
C.
3 2
2
D. 5
4
答案 A
解析 由题意,可以考虑使用数形结合法,作出可行域如图所示,
可以发现可行域是以 AB=BC 为腰的等腰三角形,则这两条平行线中
以 BC 为其一条,而另一条过点 A 且与 BC 平行,此时两条平行线间
的距离最小,即点 A 到直线 BC 的距离,则所求距离最小值为 d=
|2-2×1+3|
1+2
2
=
3 5
5 ,故选 A。
8.(2017·安徽黄山二模)已知圆 C:x
2+y
2=1,点 P 为直线x
4+
y
2=
1 上一动点,过点 P 向圆 C 引两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点,
则直线 AB 经过定点( )
A.
1
2,
1
4
B.
1
4,
1
2
C.
3
4 ,0 D.
0,
3
4
答案 B
解析 设 P(4-2m,m),∵PA,PB 是圆 C 的切线,∴CA⊥PA,
CB⊥PB,∴AB 是圆 C 与以 PC 为直径的两圆的公共弦,可得以 PC
为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+
y-
m
2
2=(2-m)
2+
m2
4 。① 由
5
[x-(2-m)]
2+
y-
m
2
2=(2-m)
2+
m2
4 ,
x
2+y
2=1,
得直线 AB 的方程为 2(2-
m)x+my=1,可得
1
4,
1
2 满足上式,即 AB 过定点
1
4,
1
2 ,故选 B。
9.直线 x-2y-3=0 与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E,F 两
点,则△ECF 的面积为( )
A.
3
2
B.2 5
C.
3 5
5
D.
3
4
答案 B
解析 由题意,圆心为 C(2,-3),半径为 r=3,则△ECF 的高
h=d=
|2+2×3-3|
1+(-2)
2
= 5,底边长为 l=2 r
2-d
2=2 9-5=4,所
以 S△ECF=
1
2×4× 5=2 5,故选 B。
10.(2017·陕西咸阳二模)已知圆 O 的半径为 1,A,B,C,D 为
该圆上四个点,且AB→+AC→=AD→ ,则△ABC 的面积最大值为( )
A.2 B.1
C. 2 D. 3
答案 B
解析 因为AB→+AC→=AD→,所以四边形 ABDC 为平行四边形。又
因为 A,B,D,C 四点都在圆上,所以 AD,BC 必为圆的直径,∠ACD
=∠BAC=90°,即四边形 ABDC 为矩形,AD=2,|AC|
2+|AB|
2=|AD|
2
=4,S△ABC=
1
2
·|AB|·|AC|≤
|AC|
2+|AB|
2
4 =1,当且仅当|AC|=|AB|时取等
号,故选 B。
6
11.(2017·兰州市诊断考试)已知圆 C:(x- 3)
2+(y-1)2=1 和
两点 A(-t,0),B(t,0),(t>0),若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,
则当 t 取得最大值时,点 P 的坐标是( )
A.
3
2,
3 2
2
B.
3 2
2 ,
3
2
C.
3
2,
3 3
2
D.
3 3
2 ,
3
2
答案 D
解析 设 P(a,b)为圆上一点,由题意知,AP→·BP→=0,即(a+t)(a
-t)+b
2=0,a
2-t
2+b
2=0,所以 t
2=a
2+b
2=|OP|
2,|OP|max=2+1
=3,即 t 的最大值为 3,此时 kOP=
3
3 ,OP 所在直线的倾斜角为 30°,
所以点 P 的纵坐标为3
2,横坐标为 3×
3
2 =
3 3
2 ,即 P
3 3
2 ,
3
2
。
12.(2017·湖北七市联考)关于曲线 C:x
2+y
4=1,给出下列四个
命题:
①曲线 C 有两条对称轴,一个对称中心;
②曲线 C 上的点到原点距离的最小值为 1;
③曲线 C 的长度 l 满足 l>4 2;
④曲线 C 所围成图形的面积 S 满足 π
上述命题中,真命题的个数是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
答案 A
解析 ①将(x,-y),(-x,y),(-x,-y)代入,方程不变,确
定曲线关于 x 轴,y 轴对称,关于原点对称,故①正确。②x
2+y
4=
1⇒0≤x
2≤1,0≤y
4≤1,故 x
2+y
2≥x
2+y
2·y
2=x
2+y
4=1,即曲线 C 上
的点到原点的距离为 x
2+y
2≥1,故②正确。
7
③由②知,x
2+y
4=1 的图象位于单位圆 x
2+y
2=1 和边长为 2 的
正方形之间,如图所示,其每一段弧长均大于 2,所以 l>4 2,故③
正确。④由③知,π×1
2
二、填空题
13.已知直线 l1:ax-y+1=0,l2:x+y+1=0,l1∥l2,则 a 的
值为________,直线 l1与 l2之间的距离为________。
答案 -1 2
解析 ∵l1∥l2,∴a·1=-1·1⇒a=-1,此时 l1:x+y-1=0,∴
l1,l2之间的距离为
|1-(-1)|
2
= 2。
14.已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x
2+y
2=12 交于 A,B
两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若|AB|=2 3,
则|CD|=________。
答案 4
解析 设 AB 的中点为 M,由题意知,圆的半径 R=2 3,|AB|
=2 3,所以|OM|=3,即
|3m- 3|
m2+1
=3,解得 m
=-
3
3 ,直线 l 的斜率 k=
3
3 ,倾斜角 α=30°,作图易知 cos30°
8
=
|AB|
|CD|,∴|CD|=
|AB|
cos30°=
2 3
cos30°=4。
15.(2017·大理州二模)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程
为 x
2+y
2-6x+8=0,若直线 y=2kx-2 上至少存在一点,使得以该
点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的取值范围是
________。
答案
0,
6
5
解析 ∵圆 C 的方程为 x
2+y
2-6x+8=0,整理得:(x-3)2+y
2
=1,即圆 C 是以(3,0)为圆心,1 为半径的圆;又直线 y=2kx-2 上
至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,
∴只需圆 C′:(x-3)2+y
2=4 与直线 y=2kx-2 有公共点即可。设圆
心 C′(3,0)到直线 y=2kx-2 的距离为 d,则 d=
|6k-2|
4k
2+1
≤2,即 5k
2
-6k≤0,∴k∈
0,
6
5 。
16.设直线 l:3x+4y+4=0,圆 C:(x-2)2+y
2=r
2
(r>0),若圆
C 上存在两点 P,Q,直线 l 上存在一点 M,使得∠PMQ=90°,则 r
的取值范围是________。
答案 [ 2,+∞)
解析 由题意得,圆 C:(x-2)2+y
2=r
2 的圆心坐标 C(2,0),半
径为 r,此时圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离为 d=
|2×3+4|
3
2+4
2
=2。
过任意一点 M 作圆的两条切线,切点为 P,Q,则此时四边形 MPCQ
为正方形,所以要使得直线 l 上存在一点 M,使得∠PMQ=90°,则
d≤ 2r,即 2r≥2,解得 r≥ 2,∴r 的取值范围是[ 2,+∞)。
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