【题目】
(14·金华)等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.
(1)若AE=CF.
①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;
②若AE=2,试求AP·AF的值;
(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.
【答案】
解:(1)①如图,∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=∠BAC=60°, AB=AC,
又∵AE=CF,
∴△AFC≌△BEA (SAS),
∴AE=CF,
∠1=∠3,
∵∠4=∠2+∠3,
∴∠4=∠2+∠1=∠BAC=60°,
即∠ APB=180°-∠4=120°.
② ∵ ∠C=∠4=60°,∠PAE=∠CAF,
∴ △APE∽△ACF,
∴AP\AC=AE\AF,即AP\6=2\AF,所以AP·AF=12.
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.
当AE=BF时,如图2,此时点P经过的路径是AB边上的高线CH.
在Rt△AHC中,CH=√3\2AC=3√3,
∴此时点P经过的路径长为3√3 .
当AE=CF时,如图3,点P经过的路径是以A,B为端点的 圆弧,且∠APB=120°,则圆心角∠AOB=120°,
过点O作OG⊥AB, 在Rt△AOG中,∠AOG=60°,
OA=AG\sin60°=2√3,
∴l=nπr\180=4√3π\3.
∴此时点P经过的路径长为4√3π\3.
所以,点P经过的路径长为3√3或4√3π\3.
如图4,当点E从A运动至C过程中,点F先向C运动至BC中点再返回时也满足情况AF=BE,此时点P的运动路径为2√3+2√3π\3.
图4
如图5,当点E从A运动至C过程中,点F先向B运动至BC中点再返回时也满足情况AF=BE,此时点P的运动路径为√3+2√3π\3.
图5
备注:
当AE=CF时,必然有AF=BE,但是当AF=BE时就不一定有AE=CF,
如上图所示,会分为两种情况。当点E从上往下运动时,点F的运动情况就是4种了,所以会产生各种问题。
由于没有几何画板的电脑软件工具帮忙,很难想到有这么多种情况。一般解法就是想出两种,不信可以百度一下,到各大网站看看。比如菁优网和中考网。
惭愧,一道题目做了三年,竟然没有做对
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