不知道大家有没有经常听到这样一句话,“不要把所有鸡蛋放到一个篮子里”,那这句话是什么意思呢?
从字面意思来看,是提醒人们,不要把所有的鸡蛋都放在同一个篮子里,如果发生篮子翻了或其他状况,可能会一个鸡蛋都不剩,在经济上常用来比喻规避风险,多留后路的意思。那对于我们数学来说,就是一个很好延伸的“抽屉问题”了。
如果现在我有3个鸡蛋,要把它放到2个篮子中,会出现几种情况呢?
①一个篮子有0个,另一个篮子有3个。(0,3)
②一个篮子有1个,另一个篮子有2个。(1,2)
还会不会出现其他情况呢,显然不会了。
那如果我有4个鸡蛋,还是把它放到3个篮子中,又会出现几种情况呢?
①一个篮子有0个,一个篮子有0个,另一个篮子有4个。(0,0,4)
②一个篮子有0个,一个篮子有1个,另一个篮子有3个。(0,1,3)
③一个篮子有0个,一个篮子有2个,另一个篮子有2个。(0,2,2)
④一个篮子有1个,一个篮子有一个,另一个篮子有2个。(1,1,2)
我们现在来观察一下,把3个鸡蛋和4个鸡蛋放到篮子里情况:
把3个鸡蛋放到篮子里,不管怎么分,其中有一个篮子,始终大于等于2个。
把4个鸡蛋放到篮子里,也是一样的,有一个篮子,始终大于等于2个。
以此类推:我们发现不管是5个还是10个鸡蛋,按照鸡蛋比篮子多一个的情况下,始终有个篮子里的鸡蛋是大于等于2个鸡蛋的。这种现象就是抽屉原理,也叫鸽巢原理。
原理一:如果把抽屉看做集合,鸡蛋看做元素,则n+1个元素放入n个集合中,不管怎么分,则一定有一个集合中有2个或2个以上的元素。
还是上面的题为例:如果我有5个鸡蛋,把它放到3个篮子里,会出现几种情况呢?
①(0,0,5)
②(0,1,4)
③(0,2,3)
④(1,1,4)
⑤(1,2,2)
观察发展,不管怎么分,至少有一种情况是含有不少于2个鸡蛋的。
原理二:如果把比n+1个还要多的元素放到n个集合中,则至少有一个集合是大于等于2的,在深入一点也就是把m个元素任意放入n(n<m),则一定有一个集合呈至少要有k个元素。
k怎么来确定
当n能被m整除时,k=(m÷n)
当n不能被m整除时,k=(m÷n)+1
带入上面的问题,5个鸡蛋放到3个篮子里,至少一个篮子里有几个鸡蛋?
5÷3=1·····2
3不能被5整除,所以k=1+1
至少有一个篮子里有2个鸡蛋。
返回上面我们所分的情况验证,5种分法,至少有一种分法,篮子里面是有2个鸡蛋。
1、分析题意,找准“抽屉”和要分的“物品”。
2、根据题意,分析数量关系,设计抽屉类型,用抽屉关系替换题目中的数量关系。
3、运用抽屉原理,带入原理中解答。
例1:在学校教室里有6名学生正在学习,今天只有数学、英语、语文、历史、地理5门课程。
问如何求证:至少有两名学生学习同一门课程。
思路:分析题意,把学生看做“鸡蛋”,课程看做抽屉,则有6个鸡蛋,5个篮子。
根据抽屉原理一:如果把抽屉看做集合,鸡蛋看做元素,则n+1个元素放入n个集合中,不管怎么分,则一定有一个集合中有2个或2个以上的元素。
所以至少有两个学生学习同一门课程。
例2:学校买来一批书,要将书分给大家,有30名老师,至少要拿多少本,才能保证至少有一个老师能得到两本或两本以上的书。
思路:把30名老师看作30个抽屉,把书看成鸡蛋
根据原理1:则需要n+1个鸡蛋。
也就是至少需要50+1=51本书。
例3:学校月底测试,班级上有47名学生,满分是100分,成绩都是整数。已经知道有3名学生的成绩在60分以下,其余同学成绩在75到95之间不包括75,至少有几名同学成绩相同?
思路:找准抽屉和物品。题目中要求的是有几名同学成绩相同,而75到95之前有20个分数段,可以把学生看做物品,分数看做抽屉,
分析数量关系。有三名学生的成绩已经是知道的,不能在参与分配,所以参与的学生有44人。75到95之间有20个分数段,看做20个抽屉。
带入抽屉原理二中,则有:
44÷20=2·····4
2+1=3
至少有3名学生的成绩相同。
例4:冬季运动会有200学生参加运动会,其中有跳远、跑步、跳高三种比赛项目,规定每人必须参加一项或者两项运动,那么至少有几名运动员参加的项目完全一样?
思路:题目中问的是运动员参加的项目,在这个题目中,运动员是可以参加一项或者是两项,共有三项活动,所以只参加一项的活动有3种情况(跳远、跑步、跳高),而参加两项的活动也有三种情况(跳远和跑步、跳远和跳高、跑步和跳高),所以一共是6种情况。
把6种情况看做抽屉,参加运动会的学生看做鸡蛋。
带入抽屉原理二中就得:
200÷6=33····2
33+1=34
至少有34人参加的项目完全一样。
抽屉原理只能用来解决存在性问题,也就是“至少有一个”之类的题目。
那么至少有一个是什么意思呢?
“至少有一个”就是存在,满足要求的抽屉可能有很多个,但这里只需要满足存在一个达到要求的抽屉就可以了。
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