莫尔圆

正文

　　在应力（或应变）坐标图上表示受力（或变形）物体内一点中各截面上应力（或应变）分量之间关系的圆。表示应力的称为应力莫尔圆；表示应变的称为应变莫尔圆。
　　以平面应力为例说明二维应力莫尔圆的性质：受力物体内某一截面上的正应力σ 和剪应力τ 都是该截面法线与最大主应力σ₁夹角θ的函数，可以分别用公式表示为

式中σ₁ 和 σ₂为两个主应力。这两个关系式也可以用莫尔圆上N点的坐标值（见图）来表示，N点与σ₁ 夹圆心角为2θ。当(σ₁和σ₂为已知时, 用公式法或莫尔圆法都可获得通过该点的任一截面上的正应力和剪应力值。莫尔圆法的操作是：取σ 为横坐标，τ为纵坐标，在横坐标上分别取量值为σ₁ 和σ₂ 的两点,取两点间的中点为圆心作圆，则此圆的圆心坐标为

，圆半径值为

。如果欲知道法线与σ₁ 夹角为θ的截面上的正应力和剪应力，可从 σ₁ 开始，量得圆心角为2θ而获得N点,则N点的横坐标恰好为该截面上的正应力值，N点的纵坐标恰好为该截面的剪应力值。N点的横坐标值等于圆心的横坐标值加上半径值与cos2θ之积，即

，与公式的结果一样；N点的纵坐标值等于半径值与sin2θ之积，即

，与公式的结果也一样。改变θ角就可以获得任意截面上的正应力与剪应力值。当 2θ=90°或270°时，其最大的纵坐标值即

，它表示法线与最大主应力分别夹45°和135°的截面上剪应力最大,但两者有相反的符号。当2θ=0或者180°，恰好是σ₁ 和σ₂ 两点,这两点的纵坐标值为零, 表示主应力作用面上没有剪应力，而且σ₁与σ₂之间夹角θ=90°，即彼此永远垂直。

莫尔圆

　　莫尔圆法方便而且直观,是变形分析的良好工具,从而在地质研究中得到广泛的应用。与此同时应变莫尔圆也为应变分析提供了方便。三维莫尔圆可以分析物体内三维空间任意截面上的应力或者应变关系。应变莫尔圆以及三维应力（或应变）莫尔圆都是以二维应力莫尔圆为基础建立的，它们与二维应力莫尔圆的分析方法类似。
　　参考书目
　W.D.米恩斯著，丁中一等译：《应力和应变》，科学出版社，北京，1982。(W.D.Means,Stress and Strain,Springer-Verlag,New York,1976.)

配图