曹一鸣，北京师范大学数学科学学院二级教授、特聘教授，博士生导师，京师数学课程教材研究中心主任。义务教育数学课程标准修订组组长，国家教材委员会专家委员会委员，中国数学会数学教育分会常务副理事长。在《教育研究》《中国教育学刊》《课程·教材·教法》《数学教育学报》等学术期刊发表论文200余篇。研究成果获国家基础教育教学成果奖一等奖、二等奖各一项。
刘锦，曹一鸣
（北京师范大学数学科学学院，北京 100875）
计算思维作为人工智能的基础思维，对于未来社会的发展具有重要意义和价值。随着互联网+、大数据、人工智能等新兴信息技术发展，计算思维受到国内外广泛关注。计算思维在数学问题解决、数学推理等方面具有重要价值。初中阶段与计算思维相关的概念主要与运算能力相关，要求学生“根据法则和运算律正确的进行运算，理解运算算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”[1]；高中阶段涉及“数学运算”核心素养，要求学生“理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等”[2]。计算思维在计算科学领域已经得到了广泛应用，关于计算思维的教育主要集中在高等教育，K12阶段也有所涉及。具体到学科方面，国外对计算思维在数学、科学学科已经进行了一些探索，国内的研究主要集中在信息技术领域，数学学科相关研究较少。
OECD开展的国际学生评估项目（PISA）以其前瞻性、先进性、严谨性和建设性被国际社会大多数国家和地区认可并参与，成为国际上最具影响力的学生评价项目之一[3]。PISA2021以数学为主要测评领域，在数学素养定义、内涵以及测评内容方面均做出了重大调整[4]。其中最明显的变化是首次引入计算思维，并将其和数学问题解决、数学推理一起纳入21世纪数学素养的一部分[5]。未来社会的问题解决与计算机编程、算法设计、数据科学、机器学习密不可分，均以计算思维为重要基础[6]。计算思维与数学学习密切相关，如何从数学的角度理解计算思维？本文结合PISA2021数学素养测评框架，解读数学中的计算思维，在此基础上讨论对我国中学数学课程改革的启示。
计算思维在学生数学学习中具有重要作用，结合PISA2021测评，分别从计算思维的内涵、计算思维在数学领域学习中的价值以及计算思维在数学素养评价中的体现三个方面解读数学中的计算思维。
计算思维作为计算机科学家的思考方式引入并被视为一种思维过程[7]，在制定问题和设计解决方案时，需要计算机、人或两者的结合来执行。由于技术在学生生活中发挥越来越大的作用，PISA2021认为数学素养应包括数学思维和计算思维之间的协同和互动关系。数学中计算思维的内涵主要体现在：
（1）数学中计算思维的本质
数学中计算思维的本质被概念化为定义和阐述可通过编程表达的数学知识，允许学生动态地建模数学概念和关系。针对数学学习的计算思维实践包括数据实践、建模和仿真实践、计算问题解决实践和系统思维实践。
（2）数学素养中的计算思维技能
数学素养中的计算思维技能包括模式识别、分解、确定可以使用哪些（如果有）计算工具来分析或解决问题，以及将算法定义为详细解决方案的一部分。学生应该拥有并能够展示计算思维技能，并将其作为问题解决实践的一部分。
（3）计算思维在数学中的作用
计算思维在数学中的作用包括特定数学主题如何与特定计算主题相互作用，以及数学推理如何补充计算思维等。数学教育不但在工具使用和支持学生探索强大学科思想的潜在方式方面不断发展，而且可以通过精熟使用计算思维工具和技能单元创造有效的学习条件从而深化数学内容的学习。计算思维工具为学生提供了一个情境，在这个情境中，学生可以具体化抽象结构（通过动态方式探索和参与数学概念），也可以用新的方式表达想法，并通过媒体和新的表征工具与概念互动。
数学与计算思维的结合，不仅促进学生对数学领域概念理解的发展，也是培养学生计算思维概念和技能的关键。让学生更加真实地了解如何在现实世界中使用数学，进而为他们在相关领域的职业生涯做好更加充分的准备。
计算思维是数学领域学习的重要基础。结合PISA2021框架界定的数学领域（数学推理和数学问题解决、数学内容、数学情境），计算思维在数学领域学习中的价值主要体现在数学推理、数学问题解决以及特定数学内容等方面。
（1）计算思维有助于理解数学抽象
数学推理（包括演绎推理和归纳推理）是数学素养的核心，由一些关键理解支持，这些理解是学校数学的基础。其中“欣赏抽象和符号表示的力量”这一关键理解中涉及计算思维。数学抽象的本质在于它是一个自包含的系统，数学对象从该系统中获得其意义。抽象涉及有意地和有选择地关注数学对象之间的结构相似性，并基于这些相似性构建对象之间的关系。在学校数学中，抽象形成了具体对象、符号表示和运算（包括算法和心智模型）之间的关系。这种能力在使用计算设备时也起着作用。在重要的计算思维技能中，在技术环境中处理抽象概念时，能够创造、操纵和提取意义。
（2）计算思维丰富学生数学问题解决手段和工具
数学问题解决过程包括表述、应用和诠释。“表述”是指学生能够有效地识别在问题情境中使用数学的机会，然后提供必要的数学结构，以数学形式公式化情境问题；“应用”是指学生能够很好地进行计算和操作，并将他们所知道的概念和事实应用到数学问题的解决方案中。“诠释”涉及学生如何有效地反思数学解决方案或结论，在现实问题的背景下解释它们并确定结果或结论是否合理或有用。在数学问题解决过程中鼓励学生通过计算思维工具和实践体验数学问题解决过程，鼓励学生练习预测、反思和调试技能。比如在“诠释”过程中，计算思维的价值包括使用数学思维和计算思维进行预测，为论证提供证据，测试和比较提出的解决方案。计算思维为学生数学问题解决提供了丰富的手段和工具，可以有效激发学生“做数学”的积极性[8]。
（3）计算思维促进学生数学内容深度学习
对数学内容的理解以及将这些内容应用于解决有意义的情境化问题的能力非常重要。数学内容包括变化与关系、空间与图形、数量、不确定性与数据四个方面。以数学内容“变化与关系”为例介绍计算思维的价值。在生物生长、音乐、季节变化和周期、天气模式、就业水平和经济条件等多种环境中，变化和关系是显而易见的。函数和代数的传统数学内容包括代数表达式、方程和不等式、表格和图形表示，是描述、建模和解释变化现象的核心。计算工具提供了一种将变化和关系可视化并与之交互的方法。识别计算设备如何以及何时能够增强和补充数学概念是一项重要的计算思维技能。
背景调查是学生数学素养评价的起点。为了更好对教育系统做出评估，自第一轮PISA以来均设置学生和学校背景调查问卷。通过调查问卷可以提供背景，解释教育系统内部和之间的PISA结果；也可以为其他教育指标提供可靠和有效的测量，这些指标本身可以为政策和研究提供信息。PISA 2021数学框架中背景调查问卷包括四个维度：数学推理、计算思维和技术在数学教学中的作用、四个重点内容领域以及数学背景下的21世纪技能。分别从以下几个方面对第二个维度“计算思维和技术在数学教学中的作用”进行介绍：
（1）学生对计算思维的体验
计算思维的各个方面构成了数学和数学素养的一个快速发展和增长的维度。PISA 2021数学素养框架说明了计算思维既是做数学的一部分，又对如何做数学产生影响。背景问卷中关于学习和开放性的价值观和信念模块可以探索学生在数学学习中对计算思维作用的体验。
（2）关键问题
PISA2021数学素养框架提请人们注意，技术正在以不同的方式改变世界，也在改变从事数学的意义。背景调查问卷的关键问题包括：首先，深入了解学生的数学经验和数学实践是如何变化的；其次，在技术对学生如何参与数学、数学人工制品等带来影响的前提下，了解数学课堂教学法是如何演变的。对于学生来说，更好地理解技术如何影响学生的表现是很有意义的，可以在问卷框架的任务表现模块中进行探讨；教学问题可以在学习时间、课程和教学实践模块中探讨。
（3）评价内容示例
注重计算思维和技术在数学实践和教学中的作用对背景调查问卷有影响，背景调查问卷应提供措施，以便更好地了解学生在这方面的学习机会。尤其是问卷应确定学生的频率，例如：
·设计或使用计算机模拟和/或计算机模型；
·数学课堂内外的代码或程序；和
·接触计算机数学系统（CSM）（包括动态几何软件）；电子表格；编程软件（如Logo和Scratch）；图形计算器；游戏等）。
信息技术变革对学生未来数学学习提出更高的要求，计算思维将发挥重要的作用。下面分别从数学素养内涵、数学课程内容、数学学习评价三个方面阐述计算思维带来的启示。
随着新兴信息技术的发展，学生生活的世界发生了巨大的变化，数学素养被赋予了新的内涵。PISA2021测评框架指出21世纪数学素养包括数学推理、数学问题解决和计算思维。计算思维成为数学素养的组成部分。关于数学素养，《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出十个关键词，《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出六大学科核心素养。二者虽然均强调信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生很大的影响，但并未明确提出计算思维。因此，在当前义务教育改革深化的背景下，数学课程标准应当将计算思维纳入数学素养之中。与此同时，义务教育可以借鉴PISA2021 数学素养测评框架，从计算思维视角对义务教育数学素养的内涵与外延进行明确界定，从而促进义务教育数学课程改革。
计算思维有利于学生开展数学推理、数学问题解决，在特定数学内容上提供了行之有效的解决方案。但并不是所有的课程内容都适合与计算思维整合，要结合数学内容的特点和计算思维的特性合理安排。《义务教育数学课程标准( 2011 年版)》明确指出，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展；积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益[1]，但并未明确计算思维如何与课程内容整合。修订数学课程标准时，可以以计算思维为导向，进行深度改革与实践，全面更新、重构数学课程内容，通过实践、总结再到实践，最终构建出真正融合计算思维的数学课程内容，使得数学课程内容更加与时俱进。
已有的数学课程标准关注数学知识、数学推理、数学问题解决评价等，未将计算思维的考察纳入数学学习评价当中。PISA2021数学素养背景调查问卷中纳入计算思维，拓展了数学素养测评维度。学生数学学习评价应当兼顾计算思维，理想的方式是让学生通过计算工具进行数学创作，作品可以是模拟某个现象的数学模型、经过数据挖掘而得到数学发现等。这样既能体现学生对数学内容、数学本质的理解，又能展现学生计算思维与实践的能力。通过引入计算思维的评价扩展学生数学学习评价维度，达到促进学生全面发展的目的。
未来社会中学生需要在复杂情境中创造性地做出非常规的决策，计算思维将与数学推理、问题解决等共同发挥关键作用。本文以PISA2021数学素养测评为例，从数学的角度解读计算思维,在此基础上探讨了对中学数学课程改革带来的启示。数学中计算思维的引入，对我国中学数学课程发展提供了良好的借鉴，促进深化数学课程改革，从而进一步推动数学教育走向现代化。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018.
[3] 孙彬博,郭衎,邵珍红. PISA2021数学素养测评框架中的“21世纪技能”[J]. 数学教育学报,2019,28 (4):12-16
[4] 董连春,吴立宝,王立东. PISA2021数学素养测评框架评介[J]. 数学教育学报, 2019 ,28(4):6-11.
[5] OECD. PISA2021Mathematics Framework (draft) [EB/OL]. [2021–07–10].https://pisa2021-maths.oecd.org/files/PISA%202021%20Mathematics%20Framework%20Draft.pdf
[6] 董连春，魏航，孙彬博，曹一鸣．基于 OECD“学习框架2030” 的初中数学课程内容分析及其启示[J]．数学教育学报，2020,29(5)：1-7．
[7] Jeannette M.Wing. Computational Thinking[J]. Communications of the ACM, 2006(3):33-35.
[8]董林伟，石树伟．做数学：学科育人方式的实践创新[J]．数学通报，2021,60(4)：22-24，62．
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